Gilt in den reellen Zahlen immer e^x = exp(x)

Question

Eine Frage mit einer wahrscheinlich ganz banalen Antwort, deswegen finde ich dazu auch nichts im Netz.

Gilt exp(x) = e^x = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \)\( \frac{x^n}{n!} \)

für alle x∈ ℝ, e^x bezeichnet hierbei die eulersche Zahl e

Die Frage bringt mich wirklich an den Rand des Wahnsinns, da in meinem Skript zu Analysis diese Gleichung nur für alle ganzen Zahlen definiert ist, nicht für alle reellen Zahlen. Jedoch scheint manchmal damit gerechnet zu werden und zwar im Bereich der reellen Zahlen, nicht nur im Bereich der ganzen Zahlen. Folgend noch eine Beispielaufgabe, zu deren Lösung diese Gleichung auch benötigt war.

Zu zeigen ist unter der Verwendung bekannter Potenzreihen, dass folgendes gilt

cosh(x) = \( \frac{1}{2} \) (e^x + e^−x)

wobei cosh(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \)\( \frac{x^{2n}}{(2n)!} \)

Es geht mir weniger um das Lösen dieser speziellen Aufgabe, sondern vielmehr um die Frage, ob ich grundsätzlich e^x als exp(x) schreiben darf...
Danke für alle Antworten !

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du kannst den Konvergenzradius \(r\) einer Potenzreihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cdot x^n\) ausrechnen:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$$Die unendliche Summe konvergiert sicher für alle \(x\) mit \(|x|<r\).

Im Falle der \(e^x\)-Potenzreihe ist \(a_n=\frac{1}{n!}\) und als Konvergenzradius finden wir:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n+1)!}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)!}{n!}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!\cdot(n+1)}{n!}=\lim\limits_{n\to\infty}(n+1)=\infty$$Die Potenzreihe für die \(e^x\)-Funktion konvergiet also für alle \(x\in\mathbb R\).

Daher gilt \(\left(e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right)\) für alle \(x\in\mathbb R\).

Auf die gleiche Weise kannst du den Konvergenzradius der \(\cosh(x)\)-Funktion bestimmen...

Comments

Ganz ganz lieben Dank! Das ist mehr als ich erhofft hatte!