Ich glaube, ich habe es nun verstanden. Stimmt das so?
Nach Restgliedabschätzung für n=1 gilt:
|exp(x) - (1+x)| <= |x|^2 ⇔|\( \frac{exp(x) - (1+x)}{x} \)| <= |x| ⇔|\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n}{(x+1)!}} \) | <= |x|
Sei nun xn eine Folge in C mit \( \lim\limits_{n\to\infty} \) = 0 und xn ≠ 0 für alle n. Dann gibt es ein N, so dass für alle no > N gilt |xno| <= 1.
Somit folgt für alle no > N, dass
⇔|\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{xno^n}{(xno+1)!}} \) | <= |xno|
Nach dem Quetschlemme gilt dann \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{xno^n}{(xno+1)!}} \) = 0.
Da unsere Folge beliebig gewählt wurde gilt damit
\( \lim\limits_{x\to0} \) \( \frac{exp(x) - 1}{x} \) = \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n}{(x+1)!}} \) + 1 = 0 + 1 = 1