Beweisen Sie mittels der Restgliedabschätzung, dass lim x-> 0 (exp(x) -1 ) / x = 1 gilt.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mittels der Restgliedabschätzung, dass \( \lim\limits_{x\to0} \)   \( \frac{exp(x)-1}{x} \) = 1 gilt.

Problem/Ansatz:

Ich habe den Term umgeformt und ich erkenne auch, dass wenn x gegen 0 geht, nur das erste Summenglied, also die 1 übrig bleibt.

Die Restgliedabschätzung für n=1 lautet:

|exp(x) - 1| <= |x|^2

<=> |\( \frac{exp(x)-1-x}{x} \)| = | \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{(n+1)!}} \) - 1|  <= |x|

Meine Frage ist nur, inwiefern mir die Restgliedabschätzung weiterhilft und wie ich meine bisherige Vermutung mathematisch ausdrücken kann.

\( \frac{exp(x)-1}{x} \) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{(n+1)!}} \) = ( 1 + \( \frac{x}{2} \) + \( \frac{x^2}{3!} \) +  \( \frac{x^3}{4!} \) + ...)

Comments

Mit deiner Restgliedabschätzung kann etwas nicht stimmen.

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Am Anfang ja, da müsste |exp(x) - 1 -x| <= |x|^2 stehen.

Der Rest müsste aber stimmen.

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Vermutlich ist es etwa wie folgt gemeint:
\(\exp(x)=1+x+R_2(x)\), wobei \(\lvert R_2(x)\rvert\le\vert x\rvert^2\) für alle \(x\in\R\) mit \(\lvert x\rvert \le\frac32\) gilt.
Daraus folgt
\(\lvert\exp(x)-1\rvert=\lvert x+R_2(x)\rvert\le\lvert x\rvert+\lvert R_2(x)\rvert\le\lvert x\rvert+\lvert x\rvert^2=\lvert x\rvert{\cdot}(1+\lvert x\rvert)\).
Für \(x\ne0\) gilt daher \(\left\lvert\dfrac{\exp(x)-1}x\right\rvert\le1+\vert x\rvert\).
Die Behauptung folgt dann mit dem Quetschlemma.

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Ich bin mir jetzt relativ sicher, dass du auf folgende Abschätzung hinaus willst:
\(\exp(x)=1+x+R_2(x)\implies\left\lvert\dfrac{\exp(x)-1}x-1\right\rvert=\left\lvert\dfrac{R_2(x)}x\right\rvert\le\left\lvert\dfrac{x^2}x\right\rvert=\lvert x\rvert\).

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Ich glaube, ich habe es nun verstanden. Stimmt das so?

Nach Restgliedabschätzung für n=1 gilt:

|exp(x) - (1+x)| <= |x|^2 ⇔|\( \frac{exp(x) - (1+x)}{x} \)| <= |x| ⇔|\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n}{(x+1)!}} \) | <= |x|

Sei nun xn eine Folge in C mit \( \lim\limits_{n\to\infty} \) = 0 und xn ≠ 0 für alle n. Dann gibt es ein N, so dass für alle no > N gilt |xno| <= 1.

Somit folgt für alle no > N, dass

⇔|\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{xno^n}{(xno+1)!}} \) | <= |xno|

Nach dem Quetschlemme gilt dann \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{xno^n}{(xno+1)!}} \) = 0.

Da unsere Folge beliebig gewählt wurde gilt damit

\( \lim\limits_{x\to0} \) \( \frac{exp(x) - 1}{x} \) = \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n}{(x+1)!}} \) + 1 = 0 + 1 = 1

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Dein Ansatz |exp(x) - (1+x)| <= |x|^2 ist meines Erachtens nicht zielführend.
Wenn du \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\exp(x)-1}{x}=1\) mit der Restgliedabschätzung zeigen willst,
solltest du eine geeignete Abschätzung für \(\left\lvert\dfrac{\exp(x)-1}x-1\right\rvert\) finden.

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|exp(x) - (1+x)| <= |x|^2

Wenn ich beides durch |x| teile habe ich doch |\( \frac{exp(x)-1}{x} \) -1| <= |x|

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Ja, das ist richtig. So kannst du das machen.