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Aufgabe 4 (Algorithmus: Gauß'sches Eliminationsverfahren) (4 Punkte) Wir schreiben das Gauß'sche Eliminationsverfahren als eine Reihe von Multiplikationen der gegebenen Matrix um. Es sei am Anfang eine Matrix \( A=: A^{(1)} \in \mathbb{R}^{n \times n} \) gegeben. Im \( k \)-ten Schritt nehmen wir die Matrix \( A^{(k)} \) und bekommen durch das Abziehen von Vielfachen der \( k \)-ten Zeilen die Matrix \( A^{(k+1)} \), so dass die Einträge \( a_{i k}^{(k+1)}=0 \) für \( i=k+1, \ldots, n \) erfüllen.
(i) Zeigen Sie, dass der \( k \)-te Schritt der Multiplikation (von links) mit der Matrix
\( L^{(k)}=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & 1 & & \\ & -l_{k+1, k}^{(k)} & 1 & & \\ \vdots & & \ddots & \\ & -l_{n, k}^{(k)} & & & 1 \end{array}\right), \quad \text { mit } l_{i, k}^{(k)}:=\frac{a_{i, k}^{(k)}}{a_{k, k}^{(k)}}, \quad i=k+1, \ldots, n, \)
entspricht. (Alle anderen Einträge sind 0.)
(ii) Zeigen Sie
\( \left(L^{(k)}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & l_{k+1, k}^{(k)} & 1 & & \\ & & \vdots & & \ddots & \\ & & l_{n, k}^{(k)} & & & 1 \end{array}\right) . \)
(iii) Zeigen Sie, dass man somit die „LU-Zerlegung“ der Matrix \( A \) bekommt, d. h. man kann \( A \) schreiben als \( A=L U \), wobei \( L:=\left(L^{(n-1)} \ldots L^{(1)}\right)^{-1} \) eine untere und \( U:=A^{(n)} \) eine obere Dreiecksmatrix ist.
Sie dürfen annehmen, dass \( a_{k k}^{(k)} \neq 0 \) für alle \( k=1, \ldots, n \). Ansonsten müsste eine Zeilenvertauschung durchgeführt werden. Mehr dazu auf dem nächsten Blatt.
Aufgabe:
Algorithmus: Gauß’sches Eliminationsverfahren
