Orthogonale Zerlegung und Determinante in zwei Dimensionen

Question

Text erkannt:

Es sei ein Vektor \( \boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{l}a_{1} \\ a_{2}\end{array}\right) \neq \mathbf{0} \) gegeben.
(i) Zeigen Sie, dass das orthogonale Komplement zum Unterraum \( \mathbb{R} \boldsymbol{a} \) in \( \mathbb{R}^{2} \) der Unterraum \( \mathbb{R} \boldsymbol{n} \) ist, wobei \( \boldsymbol{n}=\left(\begin{array}{c}-a_{2} \\ a_{1}\end{array}\right) \).
Tipp: Zeigen Sie die Inklusion \( \mathbb{R} \boldsymbol{n} \subset(\mathbb{R} \boldsymbol{a})^{\perp} \) und argumentieren Sie dann mit Satz 1.1.11.
(ii) Bestimmen Sie für beliebiges \( \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) dessen Zerlegung \( \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}_{\|}+\boldsymbol{b}_{\perp} \) mit \( \boldsymbol{b}_{\|} \in \mathbb{R} \boldsymbol{a} \) und \( \boldsymbol{b}_{\perp} \in(\mathbb{R} \boldsymbol{a})^{\perp} . \)

Tipp: Schreiben Sie mit (i) \( \boldsymbol{b}=\alpha \boldsymbol{a}+\beta \boldsymbol{n} \) für eindeutige \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) und bilden Sie dann das Skalarprodukt auf beiden Seiten einmal mit \( \boldsymbol{a} \) und einmal mit \( \boldsymbol{n} \), um \( \alpha \) und \( \beta \) zu bestimmen. Erkennen Sie dabei die Formel für die Determinante in \( 2 D \).
(iii) Erklären Sie mit einem Bild, warum der Flächeninhalt des durch \( \boldsymbol{a} \) und \( \boldsymbol{b} \) aufgespannten Parallelogramms gleich dem Flächeninhalt des durch \( \boldsymbol{a} \) und \( \boldsymbol{b}_{\perp} \) aufgespannten Rechtecks ist.
(iv) Zeigen Sie, dass \( |\operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})| \) der Flächeninhalt des durch \( \boldsymbol{a} \) und \( \boldsymbol{b} \) aufgespannten Parallelogramms ist.

Aufgabe: Orthogonale Zerlegung und Determinante in zwei Dimensionen

Problem/Ansatz:

Könnte mir hier jemand weiterhelfen?

Danke :)

Answer 1

Zeigen Sie die Inklusion \( \mathbb{R} \boldsymbol{n} \subset(\mathbb{R} \boldsymbol{a})^{\perp} \) und argumentieren Sie dann mit Satz 1.1.11.

Nachweis der Inklusion:

Sei \( \vec{x} \in \mathbb{R} \boldsymbol{n} \)

Dann gibt es ein s∈ℝ mit \( \vec{x}  = s \cdot \vec{n}= s \cdot \left(\begin{array}{c}-a_{2} \\ a_{1}\end{array}\right) \)

\( = \left(\begin{array}{c}-a_{2}s \\ a_{1}s\end{array}\right) \)

Dann ist das Skalarprodukt von \( \vec{x} \) und jedem Vielfachen von \( \vec{a} \)

gleich 0, also \( \vec{x} \in (\mathbb{R} \boldsymbol{a})^{\perp} \).

Den Satz 1.1.11 kenne ich nicht.