Sei V= R^R, nämlich die Menge der Funktionen f: R -> R. Sei φ: V->V, sodass für alle f aus V: φ(f)(x) := f(x) - f(-x)

Question

Text erkannt:

Sei \( V=\mathbb{R}^{2} \), nämlich die Menge der Funktionen \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \). Sei \( \varphi: V \rightarrow V \),
sodass für alle \( f \in V \)
\( \varphi(f)(x):=f(x)-f(-x), \quad \forall x \in \mathbb{R} . \)
(i) Zeigen Sie, dass \( \varphi \) eine lineare Abbildung ist.
(ii) Bestimmen \( \operatorname{Sie} \operatorname{Kern}(\varphi) \). Ist \( \varphi \) injektiv?
(iii) Zeigen Sie, dass \( \operatorname{Im}(\varphi) \) ist die Menge aller ungeraden Funktionen. Ist \( \varphi \) surjektiv?

Hallo! Kann jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Answer 1

Hallo

1. linear: zeige dass φ (r*f)=r*φ(f) und φ(f+g)=φ(f)+φ(g)  ist, einfach ausrechnen.

2. welche Funktionen werden auf 0 abgebildet? das ist der Kern

3. injektiv oder nicht kannst du sicher, denk an 2.

4.  welche Eigenschaft hat eine ungerade Funktion? zeige dass φ(f(x)) diese Eigenschaft hat. mit dem bisher gezeigten kannst du feststellen ob surjektiv.

lul