das Anfangswertproblem zur Bestimmung von x(t) und erreicht die Schnecke das Pferd?

Question

Aufgabe:

Ein Pferd läuft in \( x \)-Richtung bei \( x=\ell>0 \) mit konstanter Geschwindigkeit \( v_{\mathrm{P}} \) los. Ein beliebig dehnbares homogenes Band ist mit dem einen Ende im Nullpunkt befestigt, mit dem anderen Ende am Pferd. Eine Schnecke beginnt gleichzeitig mit dem Pferd im Nullpunkt mit konstanter (Relativ-)Geschwindigkeit \( v_{\mathrm{S}} \) auf dem Band zu laufen. Der Abstand der Schnecke vom Nullpunkt zur Zeit \( t \) sei \( x(t) \).
(a) Formuliere das Anfangswertproblem zur Bestimmung von \( x(t) \) und löse es.
(b) Erreicht die Schnecke das Pferd? Wenn ja, nach welcher Zeit? Hängt es von den Geschwindigkeiten \( v_{\mathrm{P}}, v_{\mathrm{S}} \) ab, ob die Schnecke das Pferd erreicht?

Problem/Ansatz:
Hallo Leute!
kann mir jemand helfen??? und danke im voraus

Answer 1

Die Dgl. für die Schneckenbewegung lautet

$$ \frac{d}{dt} x(t) = v(t) = v_S + \frac{ x(t) } { l + v_P \cdot t } \cdot v_P $$ und daraus

$$ \frac{d^2}{dx^2} x(t) = \frac{v_S \cdot v_P} { l + v_P \cdot t } $$

Also $$ v(t) = \frac{d}{dt} x(t) = v_S \cdot v_P \int \frac{dt}{l + v_P \cdot t} = v_S \cdot v_P = v_S \ln(l + v_P \cdot t) + K_1 $$

Wegen \( v(0) = v_S \) folgt

$$ K_1 = v_S ( 1 - \ln(l)) $$ also

$$ (1) \quad v(t) = v_S \left( 1 + \ln\left( \frac{l+v_P \cdot t}{l} \right) \right) $$

und

$$ x(t) = \int_0^t v(\tau) d\tau = \frac{ v_S }{ v_P} \cdot (l+v_P \cdot t) \cdot \ln \left( \frac{l+v_P \cdot t}{l} \right) $$

Aus (1) folgt für \( v(t_E) = v_S+v_P \)

$$ t_E = \frac{l}{v_P} \left( e^{ \frac{v_p}{v_S} } -1 \right) $$ Nach dieser Zeit erreicht die Schnecke das Pferd.

Answer 2

Das Problem gibt es n Mal im netz, z.B unter  Schnecke und Gummiband bei google

die Dgl die du suchst ist xs'(t)=vs+vp*xs(t)/xp(t)

vs die konstante v der Schnecken xp=Weg des Pferdes =vp*t

Gruß lul