lineare Abbildung phi: R4 -> R2 finden sodass Kern(phi) = H, mit H = ...

Question

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Aufgabe 48
Können Sie eine lineare Abbildung $\varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ finden, sodass $\operatorname{Kern}(\varphi)=H$, mit
$H=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x=y=z=t\right\} ?$

Problem/Ansatz:

Könnte mir hier wer weiterhelfen wie ich diese lineare Abbildung finde?

Answer 1

H besteht ja gerade aus den Vielfachen von (1;1;1;1).

Damit wäre dim(Kern(φ)) = 1 und weil der

Definitionsbereich 4-dimensional ist, wäre das Bild

von φ dann 3-dimensional

( wegen dim(Kern)+dim(Bild)=dim(V) ).

Aber R² hat keinen 3-dim Unterraum, also gibt es eine solche

lin. Abb. nicht.