Diophantische Gleichung so lösen, dass die Lösung zu den natürlichen Zahlen gehört

Question

Aufgabe:

Die Grossmutter von Alice möchte sich bei ihrer Enkelin für die Kristallvase bedanken, die
sie von Alice während der Corona-Krise per Post zugeschickt bekommen hat. Sie möchte ihr
ein Paket zusammenstellen, das genau 2000g wiegen soll. Sie hat extra viele feine Brötchen
gebacken, von denen jedes genau 260g wiegt. Dann hat sie noch eine ganze Schachtel voll von 100gSchokoladetafeln zu Hause. Wird es der Grossmutter gelingen, aus diesen beiden Lebensmitteln
ein Paket von 2000g zusammenzustellen, ohne dass sie die Schokoladetafeln oder die Brötchen
auseinanderschneiden muss? Beantworten Sie dazu die folgenden Fragen.

c) Kann nun also die Grossmutter ein Paket, welches genau 2000g wiegt, mit ganzen Schokoladentafeln und ganzen Brötchen zusammenstellen?

Problem/Ansatz:

Ich weiss das dies eine Diophantische Gleichung ist. Daher habe ich folgende Gleichung aufgestellt:

x · 260 + y · 100 = 2000

Die konnte ich auch ausrechnen und habe gleich die Formel bestimmt um alle ganzzahligen Lösungen zu bestimmen.

Das wäre dann folgendes:

A_k = 200 + 5k

B_k = -500 -13k

Wie kann ich nun die Aufgabe c) lösen?

Answer 1

x · 260 + y · 100 = 2000

Umstellen nach y ergibt

        y = (100 - 13x) / 5.

Für ganzzahlige x ist y ganzzahlig, wenn 100 - 13x durch 5 teilbar ist.

100 - 13x ist durch 5 teilbar wenn 13x durch 5 teilbar ist.

Answer 2

Du musst k so bestimmen, dass beide Lösungen positiv sind. Wenn man zum Beispiel k so wählen wii, dass B positiv ist, muss k kleiner gleich 39 sein. K=39 liefert schon die Lösung x=5 und y=7.

Comments

Guten Tag Mathhilf

Danke vielmals! Wie komme ich jedoch auf K=39?

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Entschuldigung, ein Druckfehler. Es muss -39 sein. Ich habe die Ungleichung \(B \geq0\) nach k aufgelöst. Die erste ganzzahlige Lösung passt dann

Answer 3

100y= 2000-260x

y= 20 - 2,6x = 20 - 26/10*x = 20 -13/5*x

13/5*x muss durch 5 teilbar sein und kleiner oder gleich 20 sein.

Es kommt infrage; x=0, x= 5

Da beides vorkommen soll, kommt nur x= 5 infrage.

5 Brötchen und 7 Schokoladen.

Answer 4

x · 260 + y · 100 = 2000    |:20

13x +5y = 100

13x + 5y = 5*20

x=5k

Nur für k=1 bzw. x=5 ist y positiv.

13*5 + 5y = 5*20

y=7