Aloha :)
Der Graph einer Funktion \(y(x)\) wird im Intervall \(y\in[y_1|y_2]\) einmal vollständig um die \(y\)-Achse gedreht. Der Punkt \((x|y)\) auf dem Graphen beschreibt dabei ein Kreis mit dem Radius \(r=x\). Der Mittelpunkt dieses Kreises liegt auf der \(y\)-Achse. Die Fläche dieses Kreises ist \(\pi\cdot r^2\) bzw. \(\pi\cdot x^2\).
Das Volumen \(V_y\) des Rotationskörpers erhalten wir durch Addition aller dieser Kreisflächen entlang der \(y\)-Achse von \(y_1\) bis \(y_2\):$$V_y=\int\limits_{y_1}^{y_2}\pi\cdot x^2\,dy=\pi\int\limits_{y_1}^{y_2}x^2\,dy$$Du musst hier also nicht \(y(x)\) einsetzen, sondern die Umkehrfunktion \(x(y)\) bilden und diese zum Quadrat genommen einsetzen. Die Integration erfolgt entlang der \(y\)-Achse, also sind die Integrationsgrenzen die jeweiligen \(y\)-Werte von Anfangs- und Endpunkt.
In der Aufgabenstellung ist:$$y=f(x)=4x^2\quad;\quad y_1=f(0)=0\quad;\quad y_2=f(b)=4b^2$$Das Rotationsvolumen um die \(y\)-Achse ist:$$V=\pi\int\limits_0^{4b^2}\underbrace{\frac{1}{4}\,y}_{=x^2}\,dy=\pi\left[\frac{y^2}{8}\right]_0^{4b^2}=\pi\frac{(4b^2)^2}{8}=2\pi\,b^4$$Wir sollen \(b\) so wählen, dass dieses Volumen gleich \(8\pi\) beträgt:$$2\pi\,b^4\stackrel!=8\pi\implies b^4=4\implies b^2=2\implies b=\sqrt2$$
Die gesuchte Höhe ist daher: \(\quad h=f(\sqrt2)=4\cdot(\sqrt2)^2=8\)
