Aloha :)
Bei dieser Funktion \(f(x)\) lässt sich der Nenner in Linearfaktoren zerlegen:$$(x^2+5x-6)=(x+6)\cdot(x-1)$$Daher bietet sich vor der Integration eine Partialbruchzerlegung an:$$f(x)=\frac{10x+32}{x^2+5x-6}=\frac{10x+32}{(x+6)(x-1)}=\frac{A}{x+6}+\frac{B}{x-1}$$Die Konstanten \(A\) und \(B\) erhalten wir, indem wir die Gelichung beim letzten Gleichheitszeichen mit dem Nenner multiplizieren:$$\frac{10x+32}{(x+6)(x-1)}\cdot(x+6)(x-1)=\left(\frac{A}{x+6}+\frac{B}{x-1}\right)\cdot(x+6)(x-1)$$$$10x+32=A(x-1)+B(x+6)$$Wenn wir \(x=-6\) einsetzen, verschwindet \(B\):$$10\cdot(-6)+32=A\cdot(-7)\implies A=4$$Wenn wir \(x=1\) einsetzen, verschwindet \(A\):$$10\cdot1+32=B\cdot7\implies B=6$$
Damit haben wir die Funktion \(f(x)\) in Partialbrüche zerlegt:$$\frac{10x+32}{x^2+5x-6}=\frac{4}{x+6}+\frac{6}{x-1}$$Das lässt sich sehr leicht integrieren:$$\int\frac{10x+32}{x^2+5x-6}\,dx=\int\frac{4}{x+6}\,dx+\int\frac{6}{x-1}\,dx=4\ln|x+6|+6\ln|x-1|+C$$
