Aloha :)
Wir nehmen von der Länge \(s\) ein Stück \(x\) weg. \(x\) kann natürlich nicht größer sein als \(s\) selbst, daher muss gelten: \(0\le x\le s\). Dann erhalten wir zwei Teilstücke, eins mit der Länge \((s-x)\) und eins mit der Länge \(x\). Das Produkt dieser beiden Teilstücke soll maximal sein:$$f(x)=(s-x)\cdot x\;\to\;\text{Maximum}\quad;\quad 0\le x\le s$$
Kandidaten für das Maximum der Funktion finden wir dort, wo die erste Ableitung verschwindet:$$f(x)=sx-x^2$$$$f'(x)=s-2x\stackrel!=0\implies 2x=s\implies x=\frac s2$$Wir prüfen den Kandidaten, indem wir ihn mit der zweiten Ableitung testen:$$f''(x)=-2<0\implies\text{Maximum}$$
Für \(x=\frac s2\) wird die Funktion \(f(x)\) also maximal.
Das heißt, man muss die Länge \(s\) genau in der Mitte teilen, damit das Produkt der entstehenden beiden Längen maximal wird.
Den Graph der Funktion \(f(x)\) habe ich mal für \(s=4\) plotten lassen. Man erkennt sehr schön, dass das Maximum dann bei \(x=2\) liegt.
~plot~ (4x-x^2)*(x>=0)*(x<=4) ; [[0|5|0|5]] ~plot~
