Für welche Werte von a und b sind die angegebenen 4 Vektoren linear unabhängig?

Question

Aufgabe:

Man berechne die Dimension des von den Vektoren \( (a, 0,0, b)^{T},(1,0,1,0)^{T},(1, a, 1,1)^{T} \) und \( (2,0,2, b)^{T} \) erzeugten Teilraumes \( U \) des \( \mathbb{R}^{4} \) in Abhängigkeit von \( a \) und \( b \). Für welche Werte von \( a \) und \( b \) sind die angegebenen 4 Vektoren linear unabhängig?

Problem/Ansatz:

Wie würde das konkret aussehen?

Answer 1

[1, 0, 1, 0]
[1, a, 1, 1]
[2, 0, 2, b]
[a, 0, 0, b]

II - I ; III - 2*I ; IV - a*I

[1, 0, 1, 0]
[0, a, 0, 1]
[0, 0, 0, b]
[0, 0, -a, b]

--> für a ≠ 0 und b ≠ 0 erhält man die Zeilenstufenform.

Man hätte auch die Determinante ungleich Null setzen können.

DET([a, 0, 0, b; 1, 0, 1, 0; 1, a, 1, 1; 2, 0, 2, b]) = - a^2·b ≠ 0 --> a ≠ 0 ∧ b ≠ 0

Answer 2

Aloha :)

Wir rechnen die linearen Abhängigkeiten der Spaltenvektoren untereinander heraus, indem wir elementare Spaltenumformungen verwenden. Unser Ziel ist es, so viele Nullen wir möglich zu erhalten:

$$\begin{array}{rrrr} & & -S_2 & -2S_2\\\hline a & 1 & 1 & 2\\0 & 0 & a & 0\\0 & 1 & 1 & 2\\b & 0 & 1 & b\end{array}\to\begin{array}{rrrr} -S_4 & & & \\\hline a & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & a & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\b & 0 & 1 & b\end{array}\to\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 & \vec b_4 \\\hline a & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & a & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & b\end{array}$$

1. Fall: \(a=0\) und \(b=0\)

$$\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 & \vec b_4 \\\hline 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\end{array}$$Es bleiben 2 linear unabhängige Basisvektoren übrig. Daher ist \(\operatorname{dim}(U)=2\).

2. Fall: \(a=0\) und \(b\ne0\)

$$\begin{array}{rrrr} & & & -b\cdot S_3\\\hline 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & b\end{array}\to\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 & \vec b_4 \\\hline 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\end{array}$$Es bleiben 2 linear unabhängige Basisvektoren übrig. Daher ist \(\operatorname{dim}(U)=2\).

3. Fall: \(a\ne0\) und \(b=0\)

$$\begin{array}{rrrr} \colon a & -\frac1a\cdot S_1 & \vec b_3 & \vec b_4 \\\hline a & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & a & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\end{array}\to\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 & \vec b_4 \\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & a & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\end{array}$$Es bleiben 3 linear unabhängige Basisvektoren übrig. Daher ist \(\operatorname{dim}(U)=3\).

4. Fall: \(a\ne0\) und \(b\ne0\)

$$\begin{array}{rrrr} \colon a & -\frac1a\cdot S_1 & -\frac1b\cdot S_4 & \colon b \\\hline a & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & a & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & b\end{array}\to\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 & \vec b_4 \\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & a & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}$$Es bleiben 4 linear unabhängige Basisvektoren übrig. Daher ist \(\operatorname{dim}(U)=4\).

Comments

Herzlichen Dank