Warum quadriert man die mittlere quadratische Abweichung bei einem Streuungsmaß?

Question

Aufgabe:

Warum quadriert man die mittlere quadratische Abweichung bei einem Streuungsmaß?

Problem/Ansatz:

Wie haben in Mathe das Thema beschreibende Statistik und sind nun bei Streuungsmaßen angekommen. Warum wird das quadriert?

Answer 1

Du meinst sicher die Varianz. Das ist reine Definition. Der Vorteil ist, man hat immer positive Zahlen, mit denen man recht gut rechnen kann. Z.B. um eine Ausgleichsgerade zu berechnen. Wenn man z.B. \( \sum_{i=1}^n |x_i - \mu | \) nehmen würde, muss man sich mit dem Betrag rum ärgern.

Außerdem kann man die \( \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \) auch als Skalarprodukt von Vektoren darstellen, was ein weiterer Vorteil ist.

Answer 2

Aloha :)

Du kannst dir das am einfachsten mit Hilfe von Vektoren vorstellen. Du hast auf der einen Seite den Vektor, der in allen Komponenten den Erwartungswert \(\mu\) eingetragen hat. Bei \(n\) Messwerten \(x_i\) heißt das:$$\vec v_1=\begin{pmatrix}\mu\\\mu\\\mu\\\vdots\\\mu\end{pmatrix}\quad;\quad \mu\coloneqq\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}$$Dieser Vektor \(\vec v_1\) liegt auf der Hauptdiagonalen eines \(n\)-dimensionalen kartersichen Koordinatensystems.

Auf der anderen Seite hast du den Vektor der einzelnen Messwerte:$$\vec v_2=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$$Dieser wird in der Regel von dem Vektor \(\vec v_1\) abweichen. Als Maß für diese Abweichung dient der euklidische Abstand, den die beiden Spitzen der Vektoren voneiander haben:$$\left\|\vec v_2-\vec v_1\right\|=\left\|\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\mu\\\mu\\\mu\\\vdots\\\mu\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}x_1-\mu\\x_2-\mu\\x_3-\mu\\\vdots\\x_n-\mu\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\mu)^2}$$Dieser Wert wird noch für bessere Vergleichbarkeit auf die Anzahl \(n\) der Messwerte normiert:$$\sigma=\sqrt{\frac1n\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\mu)^2}$$