Berechnungen an einer quadratischen Funktion

Question

Das Schaubild der quadratischen Funktion y = x² - 4x + q verläuft durch den Punkt P(4/5)

a) Bestimme die Gleichung der Parabel p₁ und die Koordinaten des Scheitelpunktes.

b) Eine nach unten geöffnete, verschobene Normalparabel p₂ hat den Scheitel S_s (0/5). Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte beider Parabeln.

Answer 1

den Punkt p in die Funktion einsetzen

5 = 4² -4*4 +q

5= 16-16 +q           q= 5

f(x) = x²-4x +5

a) Scheitelpunkt mit quadratischer Ergänzung bestimmen

    f(x) = x² -4x +4-4  +5

          = (x-2)² +1                             Scheitelpunkt  S( 2| 1)

b)  g(x) = -(x +0)²  +5

           = -x² +5

      Schnittpunkte bestimmen f(x) = g(x)  setzen

      x² -4x +5= -x² +5        | +x²  - 5

       2x² -4x   =0

       x( 2x -4) =0

           2x-4=0      ⇒    x=2                          x₁=  0     ;    x₂= 2

          Die gefundenen x Werte oben in die Gleichungen einsetzen

          g(0) =  5

          g(2) = 1

     Schnittpunkte   P ( 0| 5)   und  Q(2| 1)