Zeigen Sie, dass A kompakt ist.

Question

Aufgabe:

Sei K ⊂ ℝ³ kompakt und A ⊂ K eine Teilmenge, zu der eine offene Menge U ⊂ ℝ³ existiert, so dass K\A = U ∩ K ist. Zeigen Sie, dass A kompakt ist.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

Hallo,

da wir in \(\mathbb R^3\) sind können wir den Satz von Heine-Borel anwenden.

\(A\) ist sicherlich beschränkt, da \(A\subseteq K\) und \(K\) beschränkt ist.
Zudem ist \(A^C=K^C\cup(K\backslash A)=K^C\cup U\) und damit offen. \(A\) ist also auch abgeschlossen und somit kompakt.

(Dabei ist \(M^C=\mathbb R^3\backslash M\) das Komplement)

LG Dojima

Comments

Hi, wieso ist A abgeschlossen, wenn K ∪ U offen ist??

Das gilt, weil nach Voraussetzung ja K\A = U ∩ K gilt, und somit U nichts enthält, was K nicht enthält, oder? Denn K\A = U.

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\(K\cup U\) ist im allgemeinen nicht offen, \(K^C\cup U\) ist offen. Das ist wichtig weil gilt:

Eine Menge ist abgeschlossen genau dann, wenn ihr Komplement offen ist.

Um zu zeigen, dass \(A\) abgeschlossen ist kann man also zeigen, dass \(A^C\) offen ist.
Es ist \(A^C=K^C\cup U\) (das erhält man aus einfachen Umformungen, den ersten Schritt habe ich oben angedeutet. Oder man zeigt die Gleichheit dieser Mengen direkt).

Da \(K\) kompakt ist, ist \(K\) abgeschlossen und damit \(K^C\) offen. \(U\) ist nach Definition offen und die Vereinigung zweier offener Mengen ist wieder offen. Also ist \(K^C\cup U=A^C\) offen.

Zu dem was du noch geschrieben hast:
Richtig ist \(K\backslash A=U\cap K\). Allerdings gilt eben nicht \(K\backslash A=U\). Insbesondere kann \(U\) auch Elemente enthalten, die nicht in \(K\) liegen.

In Worten könnte man sagen: Die Elemente, die nicht in \(A\) liegen sind ganu die Elemente, die nicht in \(K\) liegen oder in \(U\) liegen.

Ein 2-dimensionales Beispiel wäre z.B. $$\begin{aligned}K&=[-1,1]\times[-1,1]\\A&=[0,1]\times[-1,1]\\ U&=(-\infty,0)\times\mathbb R\end{aligned}$$
Mal dir die Mengen ruhig mal auf, dann wird vielleicht klar was gemeint ist (in der Aufgabe geht es zwar um \(\mathbb R^3\) aber die Dimension ist eigentlich egal).

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Dankeschön!

Wo finde ich denn die Regeln für die Umformungen, die du angedeutet hast?

Im Buch von Fischer finde ich nichts...

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Schau mal auf Wikipedia bei Mengenlehre unter Gesetzmäßigkeiten. Da ist eine gute Aufzählung der Regeln.
So viele Regeln braucht man natürlich bei der Aufgabe nicht, es sind so 4-5 Umformungen denke ich. Man muss natürlich benutzen, dass hier noch speziell \(K\backslash A=U\cap K\) gilt.

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Ich checks nicht. Mit den Umformungen.

Wie komme ich denn auf den Teil von dir, der direkt nach A^C kommt. Woher weiß ich das denn, dass das so ist.

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Ok, dann hier mal eine Möglichkeit für die Umformungen:$$ \R^3\backslash A=(\R^3\backslash K)\cup (K\backslash A)=\R^3\backslash K\cup(U\cap K)\\=(K^C\cup U)\cap(K^C\cup K)=(K^C\cup U)\cap(\R^3)=K^C\cup U$$

Den ersten Schritt habe ich hier mal anders geschrieben. Dieser Schritt funktioniert auch nur, weil \(A\subseteq K\). Wenn dir nicht klar ist, warum versuche mal beide Mengeninklusionen (d.h. \(\R^3\backslash A\subseteq(\R^3\backslash K)\cup (K\backslash A)\) und \(\R^3\backslash A\supseteq(\R^3\backslash K)\cup (K\backslash A)\)) zu zeigen.

Für \(\subseteq\) bietet sich eine Fallunterscheidung \(x\in K\) vs. \(x\not\in K\) an, für \(\supseteq\) wirst du verwenden müssen, dass \(A\subseteq K\) also \(x\not\in K\Rightarrow x\not\in A\).

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danke dir. Ich denke, den Sinn verstehe ich. K^C ist offen, U ist offen. Beide offen, vereinigung offen und das ist = A.

Aber wie komme ich mit Umformungen vom Teul nach dem zweiten Gleichzeichen auf den Teil nach dem dritten Gleichzeichen?

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Das habe ich gestern abend vielleicht etwas chaotisch aufgeschrieben. Ich wollte nicht immer \(\R^3\backslash K\) schreiben und bin deshalb zu \(K^C\) übergegangen. Gleichzeitig habe ich bei dem Schritt das Distributivgesetz $$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$$ angewendet. Etwas ausführlicher geschrieben: $$(\R^3\backslash K)\cup(U\cap K)=K^C\cup(U\cap K)=(K^C\cup U)\cap(K^C\cup K)$$

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Ah, hat sich erledigt. Ist ja nur normales Umformen, du hast einfach R^3\K dieses mal als K^C geschrieben.

Danke dir, habe jetzt auch deinen Kommentar gelesen.

Aber jetzt haben wir gezeigt, das A^C offen ist, als Vereinigung zweier offener Mengen. Ist denn A^C offen => A kompakt?

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um die erste Mengeninklusion von dir zu zeigen, da komme ich nicht weiter:

x ∈ R³\ A

<=> x ∈ R³ ∧ x∉ A

<=>   x ∈ R³ ∧  x ∈ (U ∩ K)

<=> (x ∈ R³ ∧ x ∈ U) ∪ (x ∈ R³ ∧ x ∈ K)

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Ich weiß nicht ob man mit \(\Leftrightarrow\) wirklich gut ans Ziel kommt.

<=>  x ∈ R3 ∧  x ∈ (U ∩ K)

Hier ist auch schon ein Fehler, da es auch \(x\not\in A\) geben kann mit \(x\not\in K\).

Wenn man für zwei Mengen \(A,B\) zeigen will, dass \(A=B\) gilt ist es oft einfacher zu zeigen, dass \(A\subseteq B\) und \(A\supseteq B\) gelten. So würde ich es hier auch machen. Ich habe ja oben auch schon angedeutet, was dazu die Ideen sind.
Im Moment habe ich nicht die Zeit, das im Detail aufzuschreiben. Wenn du willst kann ich das nachher noch machen. Ansonsten kannst du ja mal überlegen ob du eine der beiden Inklusionen hinbekommst.

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Ok, ich versuche mal. Es wäre super lieb von dir, natürlich nur, wenn du die Zeit findest.

Danke dir! LG

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Alles klar. Wir wollen also zeigen, dass $$\R^3\backslash A=(\R^3\backslash K)\cup(K\backslash A)$$ gilt.
Wie schon gesagt werde ich \(\subseteq\) und \(\supseteq\) separat zeigen.

\(\subseteq\): Sei \(x\in\R^3\backslash A\). Wir unterscheiden nun 2 Fälle.
1. Fall \(x\not\in K\): Dann ist \(x\in(\R^3\backslash K)\) und damit in \((\R^3\backslash K)\cup(K\backslash A)\).
2. Fall \(x\in K\): Dann ist \(x\in(K\backslash A)\) also in \((\R^3\backslash K)\cup(K\backslash A)\).
Damit haben wir \((\R^3\backslash A)\subseteq(\R^3\backslash K)\cup(K\backslash A)\)

\(\supseteq\): Sei \(x\in(\R^3\backslash K)\cup(K\backslash A)\). Folgende Beobachtung:
Da \(A\subseteq K\) ist \((\R^3\backslash K)\subseteq (\R^3\backslash A)\) ("Wenn \(x\) nicht in \(K\) ist, dann ist es erst recht nicht in \(A\)").
Zudem ist natürlich auch \((K\backslash A)\subseteq (\R^3\backslash A)\). Das sollte klar sein.
Insgesamt erhält man also: \((\R^3\backslash A)\supseteq(\R^3\backslash K)\cup(K\backslash A)\)

Damit sein beide Inklusionen gezeigt und es gilt die Behauptung.

Noch ein paar Bemerkungen:
Das Beispiel von oben kann auch helfen sich nochmal bildlich zu verdeutlichen was hier passiert.
\(\subseteq\) gilt für alle Teilmengen \(A,K\subseteq\R^3\). Für \(\supseteq\) brauchen wir tatsächlich \(A\subseteq K\subseteq\R^3\).
Das ganze gilt auch für allgemeine Mengen: Seien \(A\subseteq B\subseteq X\) Mengen, dann gilt \((X\backslash A)=(X\backslash B)\cup(B\backslash A)\)

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Dankeschön. Bei ⊆, 1. Fall. Wenn x nicht in K ist, wie kann x dann in der Vereinigung sein, verinigt it K\A ? Dann wäre es ja doch in K, nur K ohne A. Oder ist das egal, da ja x im Komplement von K ist und somit automatisch nicht im K?

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Vereinigung heißt ja, dass es in einer der Mengen sein muss, nicht in allen. Wenn \(x\) also schon in \(\R^3\backslash K\) ist, dann ist völlig egal ob \(x\) auch in \(K\backslash A\) ist (was es ja nicht ist). Es ist auf jeden Fall in \((\R^3\backslash K)\cup(K\backslash A)\).

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Ah super, danke!