Aloha :)
Die Tangente an eine Kurve \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\) lautet allgemein:$$t(x)=f(x_0)+f'(x)\cdot(x-x_0)$$Sie stellt eine lineare Näherung der Funktion für \(x\)-Werte dar, die nahe bei \(x_0\) liegen.
Solche Näherungen kommen in der Praxis sehr oft vor. Man muss dann nicht die komplizierte Funktion ausrechnen, sondern kann mit der Näherung die Werte überschlagen. Die Genauigkeit der Ergebnisse ist in vielen Fällen gut genug.
Wenn du z.B. bei der aktuellen Inflation wissen möchtest, nach wie vielen Jahren sich die Kaufkraft des bunten Papiers, das wir Geld nennen, halbiert haben wird, gibt es die sog. "72er-Regel". Bei \(8\%\) Inflation hat sich der Wert des Geldes in \(\frac{72}{8}=9\) Jahren halbiert. Bei den angestrebten \(2\%\) Inflation würde das hingegen \(\frac{72}{2}=36\) Jahre dauern. Das kannst du viel schneller ausrechnen als$$1,08^n=2\quad\text{bzw.}\quad1,02^n=2$$$$1,08^9=1,999\quad\text{bzw.}\quad1,02^{36}=2,040$$
Solche Überschlagsrechnungen helfen oft, die Machbarkeit irgendwelcher Vorhaben schnell einzuschätzen.
