Stammfunktion der Funktion f(x)=(3x-2)/((x-1)*(x-2)^2)? Partialbruchzerlegung?

Question

gegeben ist die Funktion:

f(x)=(3x-2)/((x-1)*(x-2)^2)

Wie kann man von dieser Funktion die Stammfunktion finden mit Hilfe der Partialbruchzerlegung??

Answer 1

Ansatz für Partialbruchzerlegung:$$\frac { 3x-2 }{ (x-1)*(x-2)^{ 2 } } =\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ x-2 } +\frac { C }{ (x-2)^{ 2 } }$$$$\Leftrightarrow 3x-2=A(x-2)^{ 2 }+B(x-1)(x-2)+C(x-1)$$$$\Leftrightarrow 3x-2=Ax^{ 2 }-A*4x+A*4+B{ x }^{ 2 }-B*3x+B*2+Cx-C$$$$\Leftrightarrow 3x-2=(A+B)x^{ 2 }+(-4A-3B+C)x+(4A+2B-C)$$Koeffizientenvergleich:$$\Rightarrow$$$$A+B=0$$$$-4A-3B+C=3$$$$4A+2B-C=-2$$$$\Leftrightarrow$$$$A=1$$$$B=-1$$$$C=4$$$$\Rightarrow f(x)=\frac { 3x-2 }{ (x-1)*(x-2)^{ 2 } } =\frac { 1 }{ x-1 } -\frac { 1 }{ x-2 } +\frac { 4 }{ (x-2)^{ 2 } }$$$$\Rightarrow\int { \frac { 3x-2 }{ (x-1)*(x-2)^{ 2 } }  } dx=\int { \frac { 1 }{ x-1 } -\frac { 1 }{ x-2 } +\frac { 4 }{ (x-2)^{ 2 } }  } dx$$$$=\int { \frac { 1 }{ x-1 } dx } -\int { \frac { 1 }{ x-2 } dx } +\int { \frac { 4 }{ (x-2)^{ 2 } }  } dx$$Das sind nun einfache Grundintegrale, die leicht berechnet oder in Integraltafeln nachgeschlagen werden können. Das überlasse ich mal dir :-)

Comments

Vielen Dank schonmal :) Das mit den Integralen ist dann kein Problem mehr. ich verstehe nur den ersten Schritt nicht: Ich habe mir folgendes überlegt: Ich dachte ich schreibe den nenner erstmal um nämlich:
(3x-2)/((x-1)*(x-2)*(x-2))... daraus würde ja folgen: A/(x-1)+B/(x-2)+C/(x-2). Dann haben wir in der Schule gelernt das alles auf einen Nenner zu bringen d.h. jetzt müsste man alle Teilnenner miteinander multiplizieren. (HINWEIS: Wir hatten bis jetzt nur Aufgaben wo der Nenner als höchste Potenz x^2 hat. Wo liegt jetzt bei dieser Aufgabe mein Denkfehler oder kannst du mir erklären wie du auf den ersten Schritt kommst?) wäre dir echt super dankbar :)

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Der Nenner hat eine einfache Nullstelle ( x = 1 ) und eine doppelte Nullstelle ( x = 2 )

Bei der Partialbruchzerlegung schreibt man für jede einfache Nullstelle x_i einen Bruch A / ( x - x_i ) und für jede r-fache Nullstelle x_j die folgende Summe von Brüchen

B₁ / ( x - x_j ) + B₂  / ( x - x_j ) ² + B₃ / (  x - x_j ) ³ + ... + B_r / ( x - x_j ) ^r

als Ansatz hin. Für die Funktion aus deiner Frage ergibt sich daraus also der Ansatz:

f ( x ) = A / ( x - 1 ) + B₁ / ( x - 2 ) + B₂ / ( x - 2 ) ²

Schreibt man hierin B statt B₁ und C statt B₂ so erhält man genau meinen Ansatz.