Untersuchung von Grenzwert

Question

Aufgabe: Untersuchung von Grenzwetz

Problem/Ansatz: Hat jemand eine Idee zu Aufgabe 1.4 ?

Text erkannt:

Aufgabe 1
Untersuchen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren. Berechnen Sie im Falle der Existenz jeweils den Grenzwert. Sie dürfen dabei (noch) nicht die Regel von de L'Hospital benutzen.
1. \( \lim \limits_{x \rightarrow-4} \frac{x^{2}+3 x-4}{x^{2}+9 x+20} \)
2. \( \lim \limits_{x \rightarrow-4} \frac{x^{2}+3 x-4}{x^{2}+8 x+16} \)
3. \( \lim \limits_{z \rightarrow i} \frac{1+i z}{1+z^{2}} \),
4. \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{x^{2}}} \).

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{x^2+3x-4}{x^2+9x+20}=\frac{(x+4)(x-1)}{(x+4)(x+5)}=\frac{x-1}{x+5}\stackrel{(x\to-4)}{\to}\frac{-4-1}{-4+5}=-5$$

$$\frac{x^2+3x-4}{x^2+8x+16}=\frac{(x+4)(x-1)}{(x+4)^2}=\frac{x-1}{x+4}=1-\frac{5}{x+4}\to\left\{\begin{array}{cl}+\infty & ;\;x\nearrow-4\\-\infty & ;\; x\searrow-4\end{array}\right.$$

$$\frac{i+iz}{1+z^2}=\frac{1+iz}{1-i^2z^2}=\frac{1+iz}{(1+iz)(1-iz)}=\frac{1}{1-iz}\stackrel{(z\to i)}{\to}\frac{1}{1-i^2}=\frac12$$

$$\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}\to\left\{\begin{array}{c}+1 & ;\;x\searrow0\\-1& ;\;x\nearrow0\end{array}\right.$$

In den Fällen (2) und (4) sind der rechts- und der linksseitige Grenzwert unterschiedlich, sodass keine Konvergenz vorliegt.

Answer 2

1. Faktorisieren

(x-1)(x+4)/((x+5)(x+4)) = (x-1)/(x+5)

-4 einsetzen -> lim = -5/1 = -5

2. (x-1)(x+4)/((x+4)^2 = (x-1)/(x+4)

h-Methode: (-4+-h-1)/(-4+-h+4) = (-5+-h)/h = -5/+-h = +-oo (Polstelle)

4. 0+-h/ √(0+-h)^2) = +-h/√h^2 = +-h/h = +-1

Answer 3

Hat jemand eine Idee zu Aufgabe 1.4?

Zeige, dass die Grenzwerte für \(x\gt 0\) und für \(x\lt 0\) verschieden sind.