Untersuchung auf Konvergenz und Divergenz

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(ii) Sei \( j \in \mathbb{N} \). Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz:
c) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{j}}{k !} \).

Problem/Ansatz:Wie genau kann ich hier vorgehen. Wie arbeite ich mit j und ! im Zusammenhang.

Comments

Welche(s) Kriterium kennst Du denn um Reihen auf Konvergenz zu prüfen.

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Das Majorantenkriterium

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Das wäre das einzige? Wie steht es mit dem Quotientenkriterium?

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Wurde heute eingeführt

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Dann probiere das doch gleich mal aus.

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Und? Hast Du es geschafft?

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Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{j}}{k !} \)

Quotienten friterium
\( k !=k \cdot(k-1) \cdot(k-2) \)
\( \left.\left|\frac{a k+1}{a_{k}}\right|=\left|\frac{\frac{(k+1)^{j}}{(k+1) !}}{\frac{k^{j}}{k !}}\right|=\left|\frac{(k+1)^{j} \cdot k \mid}{(k+1) ! \cdot k^{j}}\right|=\mid \frac{(k+1)^{j} \cdot k !}{(k+1) \cdot k ! \cdot k}\right) \)
\( =\left|\frac{(k+1)^{j}}{(k+1) \cdot k^{j}}\right| \)

So weit bin ich gekommen. Weiter bin ich mir nicht sicher.

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Das ist sehr gut. Der finale Schritt::

$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=...=\frac{1}{k+1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^j \to 0 \cdot 1=0$$

Daher sind die Voraussetzungen für das QK erfüllt, die Reihe konvergiert.

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Kannst du mir hier auch weiter helfen? Hier bin ich komplett planlos:

Text erkannt:

2. Seien \( \lambda \in \mathbb{R}, \lambda>0 \) und \( k \in \mathbb{N}, k \geq 2 \). Wir definieren die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) in \( \mathbb{R} \) induktiv durch \( a_{1}:=1+\lambda \) und
\( a_{n+1}:=a_{n}\left(1+\frac{\lambda-a_{n}^{k}}{k a_{n}^{k}}\right) \quad \text { für } n \in \mathbb{N} . \)

Zeigen Sie:
(i) \( \sqrt[k]{\lambda} \leq a_{n+1} \leq a_{n} \) für \( n \in \mathbb{N} \).
(ii) \( a_{n} \rightarrow \sqrt[k]{\lambda} \) für \( n \rightarrow \infty \).

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Answer 1

Korrigierte Antwort:

Gegeben ist die Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{j}}{k !} \) mit \( j \in \mathbb{N} \).

Wir verwenden das Quotientenkriterium, um die Konvergenz oder Divergenz der Reihe zu untersuchen:
\( \begin{aligned} \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| & =\left|\frac{(k+1)^{j}}{(k+1) \cdot k^{j}}\right| \\ & =\frac{1}{k+1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{j} \end{aligned} \)

Für \( k \rightarrow \infty \) konvergiert \( \frac{1}{k+1} \) gegen 0 , und \( \left(1+\frac{1}{k}\right)^{j} \) konvergiert gegen \( 1^{j}=1 \). Somit ist \( \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|=0 \cdot 1=0 \), was bedeutet, dass die Voraussetzungen des Quotientenkriteriums erfüllt sind.

Folglich konvergiert die gegebene Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{j}}{k !} \) für jedes \( j \in \mathbb{N} \).

Comments

Diese Antwort ist falsch.

1. Rechenfehler bei der Anwendung des Quotientenkriteriums - vgl den Beitrag des FS.

2. In der Darstellung von \(e^k\) ist k ein fester Parameter und kann nicht als Laufindex für die Reihe verwandt werden. Außerdem ist der Ersatz von n durch j unklar

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So falsch war meine erste Antwort nicht (wäre ja aufs selbe hinausgelaufen - Ich hatte doch eher einen Interpretationsfehler als einen Rechenfehler zum Schluss der QR ). Allerdings ist es so selbstverständlich viel schöner und anschaulicher gelöst ☺.