Bestimme ein a ∈ ℝ , sodass die Funktion f stetig ist.

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion mit
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}-2 a x+1 & , x \geq 1 \\ x-a & , x<1 \end{array}\right. \)
Bestimmen Sie ein \( a \in \mathbb{R} \), sodass die Funktion \( f \) stetig ist.

Ich weiß überhaupt nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Eine ausfühliche Erklärung
wäre deshalb sehr hilfreich.

Answer 1

Aloha :)

Da Polynome stetig sind, ist die Funktion für \(x>1\) und für \(x<1\) stetig. Die kritische Stelle ist \(x_0=1\).

Damit eine Funktion \(f(x)\) an einer Stelle \(x_0\) stetig ist, müssen der linksseitige Grenzwert, der rechtseitige Grenzwert und der Funktionswert bei \(x_0\) gleich sein.

Der rechtsseitige Grenzwert ist hier gleich dem Funktionswert:$$\lim\limits_{x\searrow1}f(x)=\lim\limits_{x\searrow1}(x^2-2ax+1)=(1-2a+1)=2-2a=f(1)$$Der linksseitige Grenzwert lautet:$$\lim\limits_{x\nearrow1}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow1}(x-a)=1-a$$Aus der Forderung, dass beide Grenzwerte gleich sein müssen, erhalten wir \(a\):$$2-2a=1-a\implies2-1=2a-a\implies a=1$$

Für \((a=1)\) ist die Funktion über ganz \(\mathbb R\) stetig.

~plot~ (x^2-2x+1)*(x>=1) ; (x-1)*(x<1) ; {1|0} ; 0 ~plot~