Finde die größtmögliche Kugel, die in einem Tetraeder mit einer Kantenlänge von 6cm reinpassen kann.

Question

Aufgabe: Finde die größtmögliche Kugel, die in einem Tetraeder mit einer Kantenlänge von 6cm reinpassen kann.

Problem/Ansatz: Ich weiß nicht, wie ich diese Aufgabe lösen kann. Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Ohne große Rechnung würde ich eine Kugel um den Schwerpunkt Z legen wollen:

Tetraeder Basteleien

https://www.geogebra.org/m/ZuQYtDTd

Wähle r=(3sqrt(6) - 3) / 5 für Kantenlänge 6 cm

Z:=(0, 0, ((sqrt(6) + 6) / 6 * r))

\(Z:=\left(0, 0, \frac{\sqrt{6}}{2} \right)\)

Von Beweis war nicht die Rede?

Comments

Ist das die größtmögliche Kugel, die ich in diesem Tetraeder einbeschreiben könnte? Und wie bekomme ich dann die Kugelgleichung, da ich diese auch aufstellen muss.

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Wähle r=(3sqrt(6) - 3) / 5 für Kantenlänge 6 cm

korrekt wäre für den Radius \(r\) der (einen!) Kugel$$r = \frac{\sqrt 6}{12} \cdot 6\,\text{cm} = \frac12\sqrt 6\,\text{cm}$$

Z:=(0, 0, ((sqrt(6) + 6) / 6 * r))

... woimmer das her kommt?

\(Z:=\left(0, 0, \frac{\sqrt{6}}{2} \right)\)

das ist wieder richtig. Die Z-Koordinate gibt hier auch gleichzeitig den Radius der Kugel an.

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Und wie bekomme ich dann die Kugelgleichung, da ich diese auch aufstellen muss.

Ist \(\vec m\) der Mittelpunkt der Kugel, so ist die Gleichung für die Kugeloberfläche:$$(\vec x - \vec m)^2 = r^2$$