Wie kann die Funktion in eine Fourier-Reihe entwickelt werden?

Question

Aufgabe:

Die Funktion \( f(x)=x, 0 \leq x<2 \pi \) werde periodisch fortgesetzt.

Wie kann die Funktion in eine Fourier-Reihe entwickelt werden?

Und gegen welche Funktion konvergiert dann diese Fourier-Reihe?

Problem/Ansatz:

Formeln für $$a_k$$ und $$b_k$$ liegen mir vor, leider fehlt mir der Ansatz.

Answer 1

\( a_{k} = \frac{1}{π} \int\limits_{0}^{2π} f(x)*cos(kx)dx = \frac{1}{π} * \frac{kx*sin(kx)+cos(kx)}{k^2} [0, 2π] = 0 \)

\( b_{k} = \frac{1}{π} \int\limits_{0}^{2π} f(x)*sin(kx)dx = \frac{1}{π} * \frac{sin(kx)-kx*cos(kx)}{k^2} [0, 2π] = \frac{-2}{k}  \)

Gegen welche Funktion konvergiert diese Fourier-Reihe?

Die Frage versteh ich nicht, denn die Fourierreihe sollte gegen f(x) konvergieren. Eventuell meint der Fragesteller den Sägezahn oder aber die Tatsache, dass die Reihe alle sin-Wellen mit fallender Amplitude \( \frac{-2}{k} \) enthält.