Aloha :)
Der Kern einer Abbildung besteht aus allen Elementen der Definitionsmenge, die von der Abbildung auf Null abgebildet werden:$$\frac13\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1\\-1 & 2 & 1\\1 & 1 & 2\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Der Vorfaktor \(\frac13\) ist irrelevant, weil er nach Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit \(3\) entfällt. Daher musst du folgendes Gleichungssystem lösen:$$\begin{array}{rrr|c|l} x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline2 & -1 & 1 & 0 &-2\cdot\text{Gleichung 3}\\-1 & 2 & 1 & 0 &+\text{Gleichung 3}\\1 & 1 & 2 & 0 &\\\hline0 & -3 & -3 & 0 &+\text{Gleichung 2}\\0 & 3 & 3 & 0 &\colon3\\1 & 1 & 2 & 0 &-\frac13\cdot\text{Gleichung 2}\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & \Rightarrow 0=0\;\checkmark\\0 & 1 & 1 & 0 & \Rightarrow y+z=0\\1 & 0 & 1 & 0 &\Rightarrow x+z=0\end{array}$$Die erste Gleichung ist immer erfüllt. Wir haben daher für 3 Variablen \(x,y,z\) nur noch 2 Gleichungen übrig. Das heißt, wir können eine Variable völlig frei wählen und die beiden anderen Variablen sind dann durch die 2 Gleichungen festgelegt. Wir haben also einen Freiheitsgrad bzw. eine Dimension.
Wegen \((y=-z)\) und \((x=-z)\) können wir alle Vektoren des Kerns wie folgt schreiben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-z\\-z\\z\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}$$
Eine Basis des 1-dimensionalen Kerns ist also:$$\operatorname{Kern}(P)=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}$$
