Wie berechne ich die Spitze einer Pyramide mit Vektoren wenn nur der Pyramidenstumpf gegeben ist?

Question

Aufgabe:

Die Koordinaten der Spitze einer Pyramide mit Vektoren und Lagebeziehung berechnen

Problem/Ansatz:

In der Aufgabe ist der Stumpf einer Pyramide gegeben. Die zukünftige Spitze der Pyramide ergibt sich durch den Schnittpunkt der Geraden durch die Seitenkanten.

Untere Fläche: 10x10m

Obere Fläche: 6x6m

Höhe des Stumpfes: 3m

Das sollte man im ersten Schritt in ein dreidimensionales Koordinatensystem einzeichnen. Dann habe ich mir die Koordinaten der wichtigsten Punkte aufgeschrieben und zwei Parametergleichungen aufgestellt. Um dann den Schnittpunkt berechnen zu können, muss man diese glaube ich miteinander gleichsetzen und das Gleichungssystem lösen. Hier ergibt sich das Problem: Es gibt bei mir keine eindeutige bzw unendlich viele Lösungen. r = s. Damit kann ich natürlich nichts anfangen und ich werde wohl irgendwas falsch gemacht haben. Ich finde jedoch meinen Fehler nicht.

Kann mir vielleicht jemand sagen, wie man das sonst berechnet und wo ich in meiner Vorgehensweise einen Fehler gemacht haben könnte?

Liebe Grüße

Answer 1

Hallo,

bei 3m Höhendifferenz nimmt die Kantenlänge um 4m ab.

Bei 1m Höhenunterschied also um 4/3 Meter.

Bei x Metern Höhe verkürzt sich die Kante um x*4/3 Meter.

x*4/3=10

x=7,5

Die Pyramide ist 7,5m hoch.

Mit Vektoren würde ich es so machen.

Stelle den Stumpf auf die xy-Ebene, sodass der Mittelpunkt der Grundfläche im Ursprung liegt.

Eine Ecke der Grundfläche liegt dann bei P(5|5|0).

Die entsprechende Ecke der Deckfläche liegt bei Q(3|3|3).

Nun noch den Schnittpunkt S der Geraden durch P und Q mit der z-Achse berechnen.

S(0|0|7,5)

:-)

Comments

Dankeschön, das war sehr hilfreich. :)

Answer 2

Aufgrund des Strahlensatzes für Dreiecke gilt für die Höhe h der Pyramide:

\( \frac{10}{h} = \frac{6}{h-3} \)

Lösung: h = 7.5

Die beiden kongruenten Dreiecke erkennt man, wenn man sich den Querschnitt der Pyramide vorstellt, nicht durch die Diagonalen, sondern die Mitte paralleler Kanten.

Answer 3

Hallo

da du uns nichts vorgerechnet hast, ist dein Fehler nicht zu sehen, eigentlich sollten sich 2 Kantengeraden  in einem Punkt treffen, Welche Kantenvektoren hattest du denn? dein Weg ist eine Möglichkeit

anderer Weg:

Wenn du eine Seitenfläche zeichnest, eine Kante bis zum Stumpf, und die 6 und 3m solltest du aus dem Strahlensatz die  spitze ablesen können, die muss ja über der Mitte der 2 Quadrate liegen.

Gruß lul

Comments

Hey, vielen Dank für die Hilfe. ^^ Gerne versuche ich noch, dir meinen Weg zu beschreiben. Hierfür nenne ich zuerst die zwei Punkte, welche durch einen Vektor miteinander verbunden werden und dann stelle ich daraus die Geradengleichung dazu auf.

A(10|0|0) B(8|2|3) Geradengleichung:

g:= (10|0|0) + r*(-2|2|3)

C(10|10|0) D(8|8|3) Geradengleichung:

h:= (10|10|0) + s*(-2|-2|3)

Dann habe ich die gleichgesetzt und versucht das Gleichungssystem zu lösen, das hat jedoch nicht funktioniert. Denn dabei kommt das hier raus:

r = s und r = 5-s

Kann man hier vielleicht erkennen wo mein Fehler liegt?