Zeigen Sie, dass die Familie {x,phi(x),....} eine Basis von V ist.

Question

Sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum mit \( \operatorname{dim}(V)=n \). Sei \( \varphi: V \rightarrow V \) eine lineare Abbildung sodass \( \varphi^{(n)}:=\underbrace{\varphi \circ \cdots \circ \varphi}_{n \text {-mal }}=0 \) und \( \varphi^{(n-1)} \neq 0 \). Sei \( \mathrm{x} \in V \operatorname{sodass} \varphi^{(n-1)}(\mathrm{x}) \neq 0 \).

Zeigen Sie, dass die Familie
\( \left\{\mathrm{x}, \varphi(\mathrm{x}), \varphi^{(2)}(\mathrm{x}), \ldots, \varphi^{(n-1)}(x)\right\} \)
eine Basis von \( V \) ist.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

bin hier bei dieser Aufgabe etwas verloren hoffe mir kann wer weiterhelfen

Answer 1

Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/945922/sei-v-ein-k-vektorraum-mit-dim-v-n

Answer 2

Wenn die \(\phi^i(x);0\leq i \leq n-1\) Basis sein sollen, dann müssen die \(\phi^i(x)\) paarweise linear unabhängig sein :

 \( \alpha \phi^i (x)+\beta \phi^j (x)=0;i<j<n \Rightarrow \phi^i (\alpha x +\beta \phi^ {j-i}(x))=0 \Rightarrow \alpha x +\beta \phi^{j-i}(x)=0\). Bei linearer Abhängigkeit wäre   \( \phi^{j-i}(x)=\frac{\alpha}{\beta}x\)     und damit alle \( \phi^i (x)=a_i x\) , also \( \phi^n (x)=\phi(a_{n-1} x)=a_{n-1} \phi(x)=a_{n-1} a_0(x)\neq 0\)