Berechnen Sie die Distanz des Punktes a := (1, 1, 1) zur Sphäre S^2 := {x ∈ R^3 | ‖x‖ = 1}

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Distanz des Punktes a := (1, 1, 1) zur Sphäre S^2 := {x ∈ R^3 | ‖x‖ = 1}
bezüglich der Euklidischen Norm in R^3

Problem/Ansatz:

Also mein Ansatz wäre, dass ich inf d((x,y,z),(1,1,1)) mit (x,y,z)∈S^2

Dann habe ich doch

√((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2)=√(x^2+y^2+z^2-2(x+y+z)+3).

Da ja √(x^2+y^2+z^2)=1 ist folgt x^2+y^2+z^2=1. Dann habe ich √(2(-x-y-z+2))

Jetzt komme ich nicht mehr weiter, kann mir da jemand helfen?, bzw ist das wa ich bisher gemacht habe richtig?

Comments

Für einen beliebigen Punkt x auf der Kugel gilt

||a-x|| ≥ | ||a|| - ||x|| | = √3 - 1

Insb ist inf || a-x || ≥ √3 - 1

Mathefs Antwort beschreibt wie man einen Punkt x mit

|| a - x || = √3 -1

findet. somit ist

inf || a - x || = √3 - 1

(Es ist d(x,y) = || x - y ||)

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Danke dir, das hatte ich nicht mehr auf dem Schrim

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Wie kommst du auf

||a-x|| ≥ | ||a|| - ||x||?

Weil wir hatten bloß ||x+y||≤||x||+||x||

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Aus deiner Ungleichung folgt direkt

|| x + y || - || y || ≤ || x ||

Für alle x und y

Sind u und v beliebig setze

x = u - v und y = v

Dann folgt durch einsetzen

|| u || - || v || <= || u - v || (1)

Setzt man x = u - v und y = -u so folgt

|| -v || - || -u || <= || u - v ||

bzw

|| v || - || u || <= || u - v || (2)

Aus (1) ich (2) folgt zusammen

| || u || - || v || | <= || u - v ||

Answer 1

Man kann hier auch die Lagrange-Methode

zur Bestimmung von Extrema bei Nebenbedingungen verwenden:

Man sucht ein Minimum von \(f(x,y,z)=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\) unter der

Nebenbedingung \(g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0\)

Comments

Ich hätte dann x=y=z=1/√3 heraus und damit ein Abstand von -2√(3)+4 heraus. Ist das richtig?

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Weiß nicht, wie du das gerechnet hast.
Bei mir kommt \(d=\sqrt{3}-1\) heraus.

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Also nach meiner Vorlesung muss ich

∇f(x,y,z)=λ∇g(x,y,z) setzten <==>(2x-2,2y-2,2z-2)=λ(2x,2y,2z)

Dann habe ich nach x,y,z umgestellt und erhalte x=y=z=1/(1-λ).

Beim nächsten Schritt bin ich mir unsicher, da habe ich x,y,z in g eingesetzt um λ zu erhalten. Das wäre dann 1+√3 und 1-√3. Dann erhalte ich x=y=z=1/-√3 bzw x=y=z=1/√3, aber wenn ich das in f(x,y,z) einsetze erhalte ich nicht √3-1. Wo liegt mein Fehler?
Und wenn ich zwei Werte erhalte, wie zeige ich dann das es sich um kein Sattelpunkt handelt, so wie ohne Nebenbedingung oder muss ich dabei etwas beachten?

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Ich habe das so gerechnet;

\(d=((1-1/\sqrt{3})^2+(1-1/\sqrt{3})^2+(1-1/\sqrt{3})^2)^{1/2}=\sqrt{3(1-1/\sqrt{3})^2}=\)

\(\sqrt{3}(1-1/\sqrt{3})=\sqrt{3}-1\).

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Wie Peinlich, ich habe das ziehen der Wurzel am Ende vergessen. Jetzt stimmt mein Ergebnis auch. Vielen Dank

Answer 2

Kannst ja geometrisch argumentieren:

Die S^2 hat den Mittelpunkt (0;0;0) und der

Strahl von (0;0;0) nach a schneidet die

Sphäre in dem Punkt, der a am nächsten liegt.

Die Punkte auf dem Strahl haben alle die

Koordinaten (x;x;x) mit x≥0.

Der Schnittpunkt mit S^2 ist der mit ||(x;x;x)||=1,

also x=1/√3. Also d=√3   -  1

Comments

Leider dürfen wir nicht geometrisch argumentieren, sondern nur für uns das veranschaulichen, aber trotzdem danke.