Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind.h

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
a) p : V → V ist eine Projektion.
b) Es gilt V = Vp,1 ⊕ Vp,0.
c) p ist diagonalisierbar und χp = (T − 1)^rk(p)T ^dimK V −rk(p).

Problem/Ansatz:

Könntet ihr mir vielleicht helfen kann diese Aufgabe leider nicht

Danke

Answer 1

a) ==> b)  Definition von "Projektion" ist ja

vermutlich:  p o p=p .

Und die Notation  Vp,1   kenne ich so nicht,

bedeutet vielleicht Bild(p)

und Vp,0 dann wohl  Kern (p) .

Dann ist es nicht so wild:  p:V → V Projektion

==>  Für alle v∈V gilt p(p(v)) = p(v).

Sei also v∈V, dann wäre zu zeigen :

Es gibt x ∈  Bild(p)   und y ∈  Kern(p)   mit v=x+y .

Wähle x=p(v) , das ist offenbar in Bild(p).

Dann wähle y= v-p(v) und du hast

p(y)=p(v-p(v)) = p(v) - p(p(v)) = p(v)-p(v) = 0

Also y ∈  Kern(p).

Für die direkte Summe fehlt noch : Durchschnitt der beiden

enthält nur die 0.

Sei also u aus dem Durchschnitt.

==>   Es gibt ein v mit u=p(v) und p(u)=0

               ==>   0 = p(u) = p(p(v)) =  p(v) = u  q.e.d.