Geben Sie die Laplace-Transformierte der Lösung des folgenden Anfangswertproblems an

Question

Aufgabe:

Geben sie die Laplace-Transformierte der Lösung des folgenden Anfangswertproblems an:

y'' +6y' +10y=sin(2x)  y(0)=1, y'(0)=0
Problem/Ansatz:

Die Störfunktion sin(2x) bereitet mir Schwierigkeiten.

Answer 1

Hallo,

Gemäß Differentationssatz gilt:

y=F(s)

y'= -y(0)+ s F(s)

y''= -s y(0)-y'(0)+s^2 F(s)

eingesetzt ergibt das :

 -s +s^2 F(s) +6( -1+ s F(s))  +10 F(s) = LT{ sin(2x)}

-s +s^2 F(s) -6 + 6 s F(s))  +10 F(s) = LT{ sin(2x)}

F(s)(s^2 +6s +10) -s -6= 2/(s^2+4) ->aus Laplace Tabelle

Regel 37

http://www.gm.fh-koeln.de/~afomusoe/SS2013/Laplace_Korrespondenzen.pdf

\( F(s)=\frac{s^{3}+6 s^{2}+4 s+26}{\left(s^{2}+4\right)\left(s^{2}+6 s+10\right)} \)

weiter mit Partialbruchzerlegung

Ergebnis:

\( y(x)=-\frac{1}{30} e^{-3 x}\left(-32 \cos (x)+2 e^{3 x} \cos (2 x)-94 \sin (x)-e^{3 x} \sin (2 x)\right) \)