Zeigen Sie dass F gleichmaßig stetig ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie dass F gleichmaßig stetig ist

Problem/Ansatz:

Fur eine auf dem Intervall [ a, b] integrierbare Funktion f : [a, b] → R definieren wir eine zweite Funktion F : [a, b] → R mit
\(Fx = \int\limits_{a}^{\ x} \) f(t)dt

Zeigen Sie, dass F gleichmaßig stetig ist und dass fur beliebige c, d ∈ [a, b] gilt:

\( \int\limits_{c}^{\ d} \) f(t)dt = F(d) -  F(c)

Answer 1

Hello, also zur gleichmäßigen stetigkeit: naja wende doch mal die Definition an, dann steht da |Fx) - F(y)|, dann schreibst du für beide Ausdrücke das Integral auf. Per Integrationsregel kannst du die Integrale zu einem Integral zusammenfassen, wo die untere Integrationsgrenze y zum Beispiel und die obere x ist, falls x>=y. Dann kannst du aber einfach dieses Integral nach oben abschätzen, indem du die Definition des Integral über die infinitisimale Summe anwendest, anschließen das Supremum über f(t) nimmst, sodass du diesen Ausdruck rausziehen kannst und nur den Ausdruck (x-y) dort stehen hast im Betrag und das schätzt du durch Delta ab und dann hast es schon.

Wenn das schwer verständlich ist, kann ich es auch nochmal per Bild zeigen.

Für den zweite Teil wende den Mittelwertsatz der Differentialrechung auf F(x) an und dann eine Abschätzung wieder über die Definition des Integral.

Comments

Hi, vielen lieben Dank für die Antwort. Es wäre aber für mich mega hilfreich wenn du es mit den Bildern zeigen kannst. Danke :)

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Text erkannt:

\( V_{\varepsilon>0} \quad z \delta>0 \quad \forall x_{1}, x_{0}+\left[0_{0}, b\right]:\left|x-x_{0}\right|<\delta \rightarrow\left|F(x)-F\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon \)
\( \left|F(x)-F\left(x_{0}\right)\right|=\left|\int \limits_{a}^{x}(x) d t-\int \limits_{a}^{x_{0}} g(t) d t\right| \)
\( x=\left|\int \limits_{x_{0}}^{a} f(t) d t\right| \)
\( \leq \sum \limits_{i=1}^{n} \sup f\left(x^{\prime} \cdot \operatorname{Din}\right) \cdot\left[x_{i+1}-x_{i}\right] \)
\( =\quad \frac{1 !}{M} \cdot\left[x-x_{0}\right] \leq M \cdot \delta<\varepsilon \)
Si \( \left(c=1,1, \ldots, x_{i}=d\right) 20 \) gaciug vou \( [c, d] \leqslant[ \) on b]
Milludiste: \( \quad \frac{\left.f\left(x_{i+1}\right)-F(x)\right)}{x_{i+1}-x_{i}}=f^{\prime}(\hat{x})=f(x) \quad ; \tilde{x} \in\left[x_{i n 1}, k_{i}\right] \)
gliche Absethotzung nach obch
\( \begin{array}{l} F(d)-F(c) \leq \int \limits_{c}^{d} f(t) d t \leq F(d)-F(s) \\ \Rightarrow \text { Dalaus logst GGichlieit } \end{array} \)