Beweisen Sie, dass ∂1∂1f(x) + ∂2∂2f(x) = 0

Question

Sei f: ℝ² \ {0} → ℝ definiert durch

f(x) = ln(||x||₂)

Beweisen Sie, dass

∂₁∂₁f(x) + ∂₂∂₂f(x) = 0

für alle x ∈ ℝ² \ {0} gilt.

Wobei ||x||₂ die euklidische Norm ist.

Comments

https://www.ableitungsrechner.net/

Es ist \( ||x||_2 = \sqrt{x^2+y^2} \)

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Was bedeutet \(\partial_1\partial_1f(x)?\)

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Dass du zweimal bezüglich der ersten Variable partiell ableiten sollst. Es gibt da unterschiedliche Notationen:

$$ \partial_{1,1} \ln(\sqrt{x^2+y^2}) = \partial_1\partial_1  \ln(\sqrt{x^2+y^2}) =  \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x} \ln(\sqrt{x^2+y^2}) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} \ln(\sqrt{x^2+y^2}) $$

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@mathe24

Das müsste die partielle Ableitung 2 Ordnung sein und die Zahlen 1 und 2 stehen für x₁ = 1 und x₂ = 2 bzw auch x₂ = y = 2 ich denke man könnte auch ∂_x∂_xf(x) bzw. ∂_y∂_yf(x) schreiben.

Answer 1

Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/946764/berechnen-folgenden-gegebenen-definitionsbereich-operator

Comments

Vielen Dank für eure Kommentare!^^

Also ich würde demnach jeweils die partiellen Ableitungen für ∂1∂1f(x) und ∂2∂2f(x) bilden, mit:

∂1∂1f(x) = -\( \frac{x_1^2-x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2} \) und

∂2∂2f(x) = -\( \frac{x_2^2-x_1^2}{(x_1^2+x_2^2)^2} \)

und die Summe aus beiden ergibt 0, da der Zähler 0 wird und \( \frac{0}{(x_1^2+x_2^2)^2} \) = 0 ?

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Na so klappt es doch !