Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Ich habe einen Kaufmann in der Firma gefragt, er kannte den Begriff...
Die Substitutionselastizität \(\sigma(f)\) ist für reelle Funktionen \(f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R\) definiert, wobei \(n\ge2\) sein muss. Von den \(n\) Variablen werden alle bis auf \(2\) festgehalten. Die beiden variierenden Variablen werden als Index an das \(\sigma\) geschrieben:$$\sigma(f)_{yx}\coloneqq\pink-\frac{d\,\ln\left(\frac yx\right)}{d\,\ln\left(\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial x}}\right)}$$
Beachte das negative Vorzeichen.
Das \(d\) vor dem Logarithmus steht für das totale Differential.
Zur Erinnerung: \(d\,g(x;y)=\frac{\partial g}{\partial x}\,dx+\frac{\partial g}{\partial y}\,dy\).
Ich rechne das mal für die Funktion \(f(x;y)=x^3+y^3\) explizit vor.
$$d\,\ln\left(\frac yx\right)=d\,\left(\ln y-\ln x\right)=-\frac 1x\,dx+\frac1y\,dy$$$$d\,\ln\left(\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial x}}\right)=d\,\ln\left(\frac{3y^2}{3x^2}\right)=d\,\ln\left(\frac{y^2}{x^2}\right)=d\left(2\ln(y)-2\ln(x)\right)=-\frac2x\,dx+\frac 2y\,dy$$$$\sigma(f)_{yx}=-\frac{-\frac1x\,dx+\frac1y\,dy}{-\frac2x\,dx+\frac2y\,dy}=-\frac{-\frac1x\,dx+\frac1y\,dy}{2\cdot\left(-\frac1x\,dx+\frac1y\,dy\right)}=-\frac12$$
