Populationsmatrix aufstellen, zyklischer Prozess

Question

Aufgabe:

Ein Tierbestand besteht aus

1500 jungen Tieren

3760 mittelalten Tieren

750 alten Tieren

Innerhalb einer Periode werden 80% der jungen Tiere zu mittelalten Tieren, 20% sterben. 95% der mittelalten Tiere werden zu alten Tieren, 5% sterben. Die alten Tiere sterben alle zum Periodenende. Die Anzahl der neuen Jungtiere beträgt 125% der mittelalten Tiere der vorhergehenden Periode.

Nun soll gezeigt werden, dass sich der Tierbestand (Anzahl der jungen, mittelalten und alten) alle 3 Jahre zyklisch wiederholt.

Problem/Ansatz:

Mir fehlt ein Wert für die Populationsmatrix. Bisher habe ich diese Werte eingetragen:

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1,25 \\ 0,8 & 0 & 0 \\ 0 & 0,95 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1500\\3760\\750 \end{pmatrix} $$

Wenn man den Zyklus dreimal durchrechnet, kommt man jedoch nicht auf ein stabiles Ergebnis. Die Population nimmt immer ein wenig ab. Da passt was nicht, aber was? Ist 1,25 in der ersten Zeile richtig?

Comments

Sollte es statt 1500 nicht 750 heißen?

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Ja, klar, danke! Hab es korrigert!

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Wenn man die Werte der Matrix multipliziert, also 0.8*0.95*1.25=0.95 berechnet, sieht man, dass der Bestand nach drei Perioden um 5% geschrumpft sein muss.

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Da er aber stabil sein soll, ist meine Frage, ob ich die Werte überhaupt richtig eingetragen habe.

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Meiner Meinung nach sind die Werte in der Matrix jedenfalls die, die der Text hergibt. Vielleicht gibt es noch irgendeine Kleinigkeit in der Aufgabenstellung, die übersehen wurde?

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Habe nochmal nachgschaut, mehr Daten sind nicht angegeben. Ich war mir mit der 1,25 nihch sicher und bin es immer noch nicht. Ist 1,25 die Vermehrungsrate? Eigentlich schon, oder?

Ich hatte auch schon die 3 Faktoren multipliziert und kam auf 0,95, also schrumpfende Population. In der Aufgabe steht aber, man soll nachweisen, dass sich diese Bestandszahlen alle 3 Jahre wiederholen.

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Meiner Meinung nach sind die Werte in der Matrix jedenfalls die, die der Text hergibt.

Sind sie nicht. Die 1,25  steht an der falschen Stelle. Die neuen Jungtiere gehen nicht aus Alttieren hervor, sondern ...

Die Anzahl der neuen Jungtiere beträgt 125% der mittelalten Tiere der vorhergehenden Periode.

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Müsste die Matrix dann nicht so aussehen?

$$\begin{pmatrix} 1,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,8 & 0 \\ 0 & 0 & 0,95 \end{pmatrix}$$

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Also egal in welche Reihenfolge ich die Elemente bringe, es passt einfach nicht. Da ist nichts stabil. Irgendwo muss ich noch einen anderen Fehler haben...

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Funktionieren tut's mit $$M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 25/19 \\ 0.8 & 0 & 0 \\ 0 & 0.95 & 0 \end{pmatrix},$$ denn dann ist \(M^3=E_3\). Allerdings kann ich \(m_{13}=25/19\) nicht aus dem Text ableiten. Es ist verflixt...

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Danke, den Wert hatte ich auch schon probiert, da a*b*c = 1 sein soll für eine konstante Population... passt aber wie gesagt mit dem Text nicht:(

Answer 1

Die Anzahl der neuen Jungtiere beträgt 125% der mittelalten Tiere der vorhergehenden Periode.

Die Matrix lautet deshalb \( \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1,25 & 0 \\ 0,8 & 0 & 0 \\ 0 & 0,95 & 0 \end{smallmatrix}\right)\).

Comments

Das habe ich auch ausprobiert, liefert aber nicht den gewünschten Zyklus.

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Damit bekommt man einen 2jährigen Zyklus. In der Aufgabe soll er aber alle 3 jahre wiederkehren...?

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Irgendwie funktioniert keine der Kombinationen. Entweder wird es ein 2jähriger Zyklus oder die Population nimmt ab...