Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass 2^n > n^3 für alle n>=10, n e N

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass
2^n > n^3
für alle n ≥ 10, n ∈ N

Problem/Ansatz:

Haben Induktionen angefangen und tue mir schwer. Hoffe jemand kann mir helfen.

Comments

Alternativer Induktionsschritt als Einzeiler: 2ⁿ⁺¹ = 2·2ⁿ > 2·n³ - (n² + n + 1)·(n - 4) - 3 = (n + 1)³.

Answer 1

\( (n+1)^3 =  n^3 + 3n^2 + 3n + 1 \)

Jetzt zeigt man, dass

(I)  \( 3n^2 + 3n + 1  < n^3  \)

Mit \( n^3 \) dividieren:

(I) \( \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3}  < 1  \)

Das gilt für n >= 4, daraus folgt

(I) \( (n+1)^3 < n^3 + n^3 = 2* n^3 \)

__________________________________________

Induktionsstart:

\( 2^n > n^3 \), erstmals für n = 10, denn 1024 > 1000

Induktionsschritt n → n+1:

\( 2^{n+1} = 2* 2^n > 2 * n^3 \)

wegen (I):

\( 2^{n+1} > 2 * n^3 > (n+1)^3 \)

Comments

Das gilt für n >= 4, ...

Muss das nicht auch mit vollständiger Induktion gezeigt werden?

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 \( \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3}  \) ist monoton fallend für wachsende n, denn jeder einzelne Term ist monoton fallend.