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Aufgabe:

Bestimmen Sie, ob die gegebenen Aussage wahr oder falsch ist:

Streng monotone Funktionen von R nach R haben maximal eine Nullstelle.


Problem/Ansatz:

Meiner Meinung nach stimmt die Aussage schon. Aber ich bin mir nicht sicher, ob sie wirklich für alle Funktionen gilt.

Die Steigung wäre ja immer positiv/wachsend oder immer fallend. Und dementsprechend kann es sehr gut zu einem Vorzeichenwechsel kommen.

Avatar von

Hallo

warum sprichst du von allen Polynomen? die meisten sind nicht monoton oder gar streng monoton.

lul

Ja das war falsch, ich meinte einfach wahrscheinlich Funktionen generell.

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Wir betrachten die streng monotone Funktion \(f:\mathbb R\to\mathbb R\).

Ist \(f\) streng monoton fallend, so gilt:\(\quad\,\quad x_1<x_2\implies f(x_1)>f(x_2)\)

Ist \(f\) streng monoton wachsend, so gilt:\(\quad x_1<x_2\implies f(x_1)<f(x_2)\).

Hätte die Funktion zwei verschiedene Nullstellen bei \(x_1\) und \(x_2\) und sei ohne Einschränkung \(x_1<x_2\), dann würde gelten:$$x_1<x_2\implies f(x_1)=0=f(x_2)$$Das ist ein Widerspruch zur strengen Monotonie.

Eine streng monotone Funktion kann jeden Funktionswert nur höchstens 1-mal annehmen, daher kann sie auch nur maximal eine Nullstelle haben.

Avatar von 152 k 🚀

Danke Dir, das ist sehr gut verständlich!

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Und dementsprechend kann es sehr gut zu einem Vorzeichenwechsel kommen.

Allerdings nur ein einziges Mal.

Deshalb ist die Aussage wahr.

Avatar von 289 k 🚀

Ok Danke Dir.

Kann es auch es dass es zu keiner Nullstelle und dementsprechend keinem VZW kommt?

Hallo

ja, nimm als Beispiel  e^x oder e-x, beide monotone Funktionen

lul

Hallo lul,

ja stimmt! Danke Dir :)

jsmileman

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