Nullstelle Zeigen Im Intervall (-pi/2)-(pi/2)

Question

Aufgabe:

d) (i) Zeigen Sie, dass die Funktion \( f(x):=\tan x+4 x-2 \) auf dem Intervall \( M:=\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) mindestens eine Nullstelle hat. (ii) Ist sie die Einzige?

Answer 1

f(-π/4) < 0, f(+π/4) > 0

Da f(x) stetig ist, liegt mindestens eine Nullstelle in [-π/2, +π/2] vor.

tan(x) hat die Periode π. Die Funktion 4x-2 hat nur eine Nullstelle bei x = 1/2. Daher kann es nur eine Nullstelle in [-π/2, +π/2] geben.

Answer 2

tan(x)+4x-2=0

tan(x) = -4x+2

Der Wertebereich von h(x) = tan(x) im betrachteten Intervall ist ℝ.

g(x) = -4x+2 hat keine Definitionslücken.

Beide Funktionen sind stetig im betrachteten Intervall.

h(0)=0, g(0)>0 → h(0)<g(0)

h(1)>0, g(1)<0 → h(1)>g(1)

Also muss es einen gemeinsamen Funktionswert für 0<x<1 geben.

Da h(x) streng monoton steigt und g(x) streng monoton fällt, ist es die einzige Nullstelle.

:-)