Symmetrie und Monotonie von f(x)= x^2 - x berechnen

Question

Aufgabe:

die Aufgabe ist grundsätzlich nicht allzu schwer aber da sie aus meiner Probeklausur ist möchte ich mir wirklich sicher sein ob, ich richtig liege und es wirklich verstanden habe.

also man muss von f(x) = x^2 - x herausfinden ob sie achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist und ob streng monoton steigend oder streng monoton fallend

Problem/Ansatz:

also bei der Symmetrie: würde ich -f(x) = f(-x) beweisen also was sich als richtig rausstellt also punktsymmetrisch

bei der Montonie gibts paar Unsicherheiten. also 1. Ableitung ist 2x-1 daher gibts auch nur eine Nullstelle nämlich 1/2,

2. Ableitung ist 2, hie weiß ich leider auch nicht mehr weiter weil was setz ich wo ein? oder ist 2 einfach mein Tiefpunkt? also bis 1/2 ist monoton fallen und danach steigend? auch noch interessant wäre woher ich weiß ob sie einfach monoton oder streng monoton ist...

Answer 1

also bei der Symmetrie: würde ich -f(x) = f(-x) beweisen also was sich als richtig rausstellt also punktsymmetrisch

FALSCH  Es gilt weder f(-x) = f(x) noch  -f(x) = f(-x).

Da es eine Parabel ist, ist es achsensymmetrisch zu der

Geraden, die parallel zur y-Achse durch den Scheitelpunkt

verläuft.

bei der Montonie gibts paar Unsicherheiten. also 1. Ableitung ist 2x-1 daher gibts auch nur eine Nullstelle nämlich 1/2,

2. Ableitung ist 2, also positiv, somit bei x=1/2 ein Minimum

==>   Der Graph ist streng monoton fallend

über ] -∞ ; 1/2 [   und streng monoton steigend
über ]   1/2  ; ∞ [

Comments

danke! nur eine frage: wenn f(x) = f(-x) nicht erfüllt ist wie kann es dann achsensymmetrisch sein, bzw wie kann ich dass  rechnerisch dann herausfinden?

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Das f(-x)=f(x) gilt nur für Symmetrie

zur y-Achse. Symmetrie zur Achse x=0,5 kannst

du rechnerisch nachweisen durch

f(0,5 - x ) = f( 0,5 + x ) .

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ok ist das die grundsätzliche formel oder kommt das 0,5 aus meiner Funktion?

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Die 0,5 ist die Zahl, bei der die Symmetrieachse

durch die x-Achse geht.

Answer 2

Aloha :)

$$f(x)=x^2-x=\left(x^2-x+\frac14\right)-\frac14=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14$$

Die Funktion ist ein Parabel, ihre Symmetrieachse verläuft bei \(x=\frac12\) parallel zur \(y\)-Achse.

Sie ist streng monoton fallend für \(x<\frac12\) und streng monoton wachsend für \(x>\frac12\).

Bei \(\left(\frac12\big|-\frac14\right)\) liegt ihr Minimum.

Answer 3

f(x) = x^2 - x = x(x - 1)

Man sieht bereits das die Nullstellen nicht standard-symmetrisch liegen daher kann es der Funktionsgraph auch nicht sein.

Da du eine Parabel hast liegt die x-Koordinate des Scheitelpunktes zwischen den Nullstellen bei 0 und 1 also bei 0.5.

Damit ist x = 0.5 erstmal eine geeignete Spiegelachse. Das gibt man in der Regel aber nicht an, weil man nur auf Standard-Symmetrien untersucht.

Es bedeutet aber auch, dass die Funktion von minus unendlich bis 0.5 streng monoton fallend ist und von 0.5 bis unendlich streng monoton steigend.

Comments

ok also laut standardsymmetrie würde dann keine Symmetrie vorliegen?

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Es liegt keine Standardsymmetrie vor. Allerdings eine Achsensymmetrie zu x = 0.05, die wie ich aber bereits gesagt habe in einer normalen Kurvendiskussion nicht untersucht. Spezielle Symmetrien untersucht man nur auf nachfrage.

Answer 4

x^2-x = x^2-x +0,5^2-0,5^2 = (x-0,5)^2 -0,25

Parabel mit dem Scheitel S(0,5/-0,25)