Gradient/Jacobimatrix Zusammenhang

Question

Aufgabe: Keine Aufgabe sondern mehr eine Frage zu Gradienten/Jacobimatrix

Problem/Ansatz:

… Und zwar wollte ich fragen, ob Gradient und Jacobimatrix in R gleich sind und ob es einen Gradienten in R hoch n gibt.

Answer 1

Hallo,

die Jacobi-Matrix einer Funktion \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) ist eine \(1 \times n\)-Matrix mit den partiellen Ableitungen von f, also analog zu einem Zeilenvektor. In vielen Anwendungsfällen hat diese Ableitung eine technische Bedeutung. Wenn zum Beispiel f das Potential eines elektrischen Feldes ist, dann ist der Spalten-Vektor aus den partiellen Ableitungen gerade die Kraft in diesen Feld, diesen Spalten-Vektor bezeichnet man als Gradient. Also ist der Gradient der transponierte Vektor aus der Jacobi-Matrix.

Oft macht man sich aber nicht die Mühe, das immer genau zu trennen.

Gruß Mathhilf

Answer 2

Aloha :)

Die Jacobi-Matrix einer Funktion \(f\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^m\) enthät die Gradienten der \(m\) Koordinatenfunktionen als Zeilenvektoren:

$$J(f)=J\left(\begin{pmatrix}f_1(\vec x)\\f_2(\vec x)\\\vdots\\f_m(\vec x)\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}\operatorname{grad} f_1(\vec x)\\\operatorname{grad} f_2(\vec x)\\\vdots\\\operatorname{grad} f_m(\vec x)\end{pmatrix}$$

Die Jacobi-Matrix einer Funktion \(g\colon\mathbb R^n\to\mathbb R\) ist also gleich dem Gradienten als Zeilenvektor.