Gleichung mit komplexen Zahlen: z²-1-j=0. Lösungen berechnen und zeichnen

Question

wäre echt super, wenn mir jemand mit dieser Aufgabe helfen könnte.

Man soll alle Lösungen der Gleichung z²-1-j=0 berechnen und zeichnen.

 

Answer 1

Etwas einfachere Lösung:

z²-1-j = 0          | Umstellen nach z²

 

z² = 1 + 1j         | Radizieren kann man nur in der eulerschen Form bzw. Polarform

 

z = √1 + 1j    | Umwandeln in Eulersche Form über die Polarform (Betrag und Winkel)

 

z = 2teWurzel(       √2 * e^{j*1/4pi}   )    | Wurzel auflösen (Achtung, es gibt zwei Lösungen!!)

 

z = +- (      4teWurzel(2) * e^{j*1/8pi}  )   | Zurück in die Kartesische Form

 

z = +- (   4teWurzel(2)  * ( cos(1/8pi) + sin(1/8pi)*j)  )   | Zwischenschritt über Polarform

 

z1/2 = +-   (1,09 +0,455*j)

 

So hätten wir es jedenfalls in der Schule gelöst.

Comments

Schöne Lösung. Setze jeweils zur Verdeutlichung noch eine Klammer beim Wurzelzeichen (wenn du das Wurzelzeichen bei komplexen Zahlen überhaupt benutzen möchtest): Oben wäre das dann so:

 

z = √(1 + 1j )   | Umwandeln in Eulersche Form über die Polarform (Betrag und Winkel)

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Editieren ist leider nicht mehr möglich. Aber ja danke, ich hätte es so machen sollen. Gibt es ein Zeichen für vierte Wurzel?

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Ich benutze ^ 4 √(1+j).

Also ohne Abstände  ⁴√(1+j).

Alternative (1+j)^ (1/4) resp. (1+j)^{1/4}

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Zeichen für 4. Wurzel:

Auf der Leiste oben bei Kommentar zuerst auf "x²" klicken und dann auf "4", wegklicken,

dann auf das "Omega"-Zeichen links daneben und "√" anklicken ergibt insgesamt:

⁴√

Alternativ könnte man auch eingeben ^1/4

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⁴√() Okay dann werde ich das in Zukunft bei den Antworten benutzen!

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@TunnelSturm:

Finde ich gut :-D

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Danke Tunnelsturm, leider versteh ich den letzten Schritt nicht so ganz.

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Kein Problem. Hier noch etwas ausführlicher. Ausgangsituation ist folgende:

 

z1/2 =   + -    ⁴√(2)     *    e^j*1/8*pi    

Um den Punkt einzuzeichnen, müssen wir aus dieser Eulerschen Form die kartesische Form machen (Realteil [x] bzw. Re(z) und Imaginärteil [y] bzw. Im(z)  )

Die kartesische Form hat folgenden Aufbau:

 

z = x + y*j

 

j ist bloss die Imaginäre Einheit, die wird erstmal nicht beachtet.

 

Gesucht sind x und y. 

 

x = r * cos(Winkel)

y = r * sin(Winkel)

 

Wobei r für den Betrag steht. Bei deiner Aufgabe ist r = ⁴√(2)

 

Der Winkel ist Winkel = (1/8)*pi

Wenn man das alles einsetzt:

 

x = r * cos(Winkel)

y = r * sin(Winkel)

 

x  = ⁴√(2)  * cos((1/8)*pi)

y = ⁴√(2)  * sin((1/8)*pi)

Das einfach mit dem Taschenrechner ausrechnen ergibt:

 

x = +1,098

y = +0,455

 

Setze x und y in die kartesische Form ein:  z = x + y * j

 

z1/2 = + -      (1,098 + 0,455 * j)

 

--->    z1 = +(1,098 + 0,455 * j) =  +1,098 + 0,455 * j

--->    z2 = -(1,098 + 0,455 * j)   = -1,098  - 0,455 * j

 

Nun kannst du die Koordinaten in die Gaußsche Zahlenebene einzeichnen.

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ah okay, wirklich vielen dank für deine Antwort, jetzt hab ichs verstanden! dankeschön!

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Kein Problem. ich würde dir empfehlen dich mit den Umrechnungen folgender Sachen näher zu beschäftigen, weil dies sehr oft bei den komplexen Zahlen durchgeführt wird:

 

Kartesische Form -> Eulersche Form

Polarform -> Eulersche Form

Eulersche Form -> Kartesische Form

Kartesische Form -> Polarform

Polarform -> Kartesische Form

 

So wird z.B die Addition und Subtraktion in der kartesischen Form durchgeführt.

Die Multiplikation, Division, Radizieren und Potenzieren wird hauptsächlich in der eulerschen Form durchgeführt.

Answer 2

z^2 - 1 - i = 0

(a + b·i)^2 - 1 - i = 0

a^2 + 2·a·b·i - b^2 - 1 - i = 0

Aufteilen in Realteil und Imaginärteil

a^2 - b^2 - 1 = 0
a^2 - b^2 = 1

2·a·b - 1 = 0
b = 1/(2·a)

Das setze ich mal in die erste Gleichung ein

a^2 - (1/(2·a))^2 = 1
a^2 - 1/(4·a^2) = 1
4·a^4 - 1 = 4·a^2
4·a^4 - 4·a^2 - 1 = 0
4·z^2 - 4·z - 1 = 0

z = 1/2 - √2/2; für a keine Lösung
z = √2/2 + 1/2; a = - √(2·√2 + 2)/2 ∨ a = √(2·√2 + 2)/2

Jetzt kann man dafür noch b ausrechnen

a = - √(2·√2 + 2)/2
b = 1/(2·(- √(2·√2 + 2)/2)) = - √(2·√2 - 2)/2

a = √(2·√2 + 2)/2
b = 1/(2·(√(2·√2 + 2)/2)) = √(2·√2 - 2)/2

Skizze macht Wolframalpha

Comments

Ich bin ehrlich zu dir:

Ich mache dieses Thema gerade in Mathe, aber deine Lösung ist nach dem Motto "warum einfach, wenn es auch schwer geht" und finde ich etwas zu kompliziert gedacht.

Ich hätte das Problem über die Eulersche Form gelöst.

Siehe meine Antwort

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Ja. Stimmt. Das wär einfacher. Danke für den Tipp. In den komplexen Zahlen bin ich noch nicht ganz so fit.

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Kein Problem! Ich muss umso fitter für die komplexen Zahlen für Mathematik 2 sein und das bei einer Klausur ohne Taschenrechner - auweija :-)

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Also sin(pi/8) rechne ich nicht im Kopf. Muss ich ja aber auch zum Glück nicht mehr :)

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Natürlich nicht, das habe ich auch im Taschenrechner gerechnet.

Aber sin(5/4pi) und cos(5/4pi) sollte man in einer Klausur ohne Taschenrechner können bzw. das Ergebnis wissen, das kam in Klausuren schonmal dran.

(Bsp:  √2 * e^{j*3/4pi} sollte man ohne Taschenrechner ausrechnen können. Das wird benötigt, um von der Eulerschen Form in die Kartesische Form zu gelangen.

 

(Die Lösung ist übrigens:   -1 + 1j   = √2 * e^{j*3/4pi}   )

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Ja klar. Also Winkel von 0, 30, 45, 60 und 90 Grad rechne ich auch so im Kopf. Und sich daraus ergebende also wie 5/4*pi natürlich auch. Aber alles was darüber hinausgeht braucht man denke ich auch nicht im Kopf können.

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Genau. Der Sinn dahinter ist einfach zu zeigen, dass man sich auf den Einheitskreis orientieren kann bzw. auf der Gaußschen Zahlenebene zumindest für die Winkel die du gerade genannt hast.