Wann ist ein Wegintegral wegunabhängig?

Question

In meiner Aufgabe ist ein Vektorfeld A(r) gegeben, in der ich eine Konstante (β) so zu bestimmen ist, dass das Vektorfeld wirbelfrei wird.

Das hab ich gemacht, in dem ich ∇×A(r)=0 gesetzt habe und mir, so β ausgerechnet. Für diesen Wert eingesetzt ist rotA(r) gleich 0, denke mal das passt so.

Jetzt hab ich noch den Wert für β zu bestimmen, für den das Wegintegral über das Feld nur vom Anfangs und Endpunkt abhängt und nicht vom Wegverlauf. Meines Wissens ist das dann ein konservatives Feld der Fall und in einem solchen ist doch auch die rot =0.

Liege ich falsch oder ist das zweimal die "selbe" Aufgabe, bzw. das gleiche Ergebnis?

Danke

Answer 1

Aloha :)

Du liegst richtig, die Aussagen sind äquivalent:$$\text{Wegintegral über \(\vec A(\vec r)\) ist wegunabhängig}\quad\Longleftrightarrow\quad\operatorname{rot}(\vec A(\vec r))=\vec 0$$

Comments

Aloha, Mahalo :)

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Man sollte nicht vergessen, dass dies nicht bei beliebigen Definitionsbereichen gilt. Stichwort: Einfach zusammenhängend / Sterngebiet ....