Question

Zeigen Sie, dass eine Binomial-Verteilung im folgenden Sinne durch eine PoissonVerteilung approximiert werden kann:
Sei Xn ∼ B(n, pn) für n ∈ N und X ∼ Poi(λ). Gilt dann
n · pn →^{(n→∞ )} λ,
so folgt für alle k ∈ N0
P(Xn = k) →^{(n→∞ )} P(X = k).
Hinweis: Nutzen Sie die Darstellung von exp(x) als Grenzwert einer Folge.

Answer 1

Es gilt mittels Definition
\( \begin{aligned} \mathbf{P}\left(X_{n}=k\right) &=\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k} \\ &=\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \\ &=\frac{n !}{k !(n-k) !} \cdot \frac{\lambda^{k}}{n^{k}}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k} \\ &=\frac{\lambda^{k}}{k !}\left(\prod \limits_{i=0}^{k-1} \frac{n-i}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{k !} \cdot 1 \cdot e^{-\lambda} \cdot 1=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k !} . \end{aligned} \)
Es wurde verwendet, dass der Limes des Produkt konvergenter Folgen gerade dem Produkt der Limites der einzelnen Folgen entspricht

Comments

@ Liszt:

Hast Du im ersten Schritt \(n p_n=\lambda\) benutzt, statt \(n p_n \to \lambda\)?