Für X∼B(n,p) berechnet man die erzeugende Funktion mit dem binomischen Lehrsatz:
\( χ(s) = E[s^X] = \sum\limits_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k}*s^k} \)
\( χ(s) = \sum\limits_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (ps)^k (1-p)^{n-k}} = (1+ps-p)^n \)
\( χ'(s) = np(1+ps-p)^{n-1} \)
\(χ''(s) = n(n-1)p^2(1+ps-p)^{n-2} \)
\(E[X] = χ'(1) = np \)
\( Var [X] = χ''(1) + χ'(1) - (χ'(1))^2 = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = np(1-p) \)