Laplace Transformierte binomial Verteilung

Question

Aufgabe:

Für die Zufallsgröße \( X \geq 0 \) sei \( L_{X}(.) \) die Laplace-Transformierte. Man bestimme die Laplace-Transformierte,
a) wenn \( X \sim B_{n, p} \) Binomial-Verteilung und berechne damit die Erwartung \( \mathbb{E}(X) \),

Answer 1

Für X∼B(n,p) berechnet man die erzeugende Funktion mit dem binomischen Lehrsatz:

\( χ(s) = E[s^X] =  \sum\limits_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k}*s^k}  \)

\( χ(s) =  \sum\limits_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (ps)^k (1-p)^{n-k}}  = (1+ps-p)^n \)

\( χ'(s) = np(1+ps-p)^{n-1} \)

\(χ''(s) = n(n-1)p^2(1+ps-p)^{n-2} \)

\(E[X] = χ'(1) = np \)

\( Var [X] = χ''(1) + χ'(1) - (χ'(1))^2 = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = np(1-p) \)