Aloha :)
Für alle Punkte außer \((0|0)\) sind die beiden partiellen Ableitungen definiert und stetig:$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{\frac23}y^{\frac23}\right)=\frac23x^{-\frac13}y^{\frac23}=\frac23\cdot\frac{x^{\frac23}y^{\frac23}}{x}=\frac{2\sqrt[3]{x^2y^2}}{3x}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^{\frac23}y^{\frac23}\right)=\frac{2\sqrt[3]{x^2y^2}}{3y}$$
Die partielle Ableitung nach \(x\) ist nicht definiert für \(x=0\), diejenige nach \(y\) ist nicht definiert für \(y=0\).
In Summe bedeutet dies, dass die Jacobi-Matrix bzw. die totale Ableitung nicht defniert ist, wenn der Punkt \((x;y)\) auf einer Koordinatenachse liegt, wenn also eine der Komponenten gleich \(0\) ist:$$J(f)=\begin{pmatrix}\frac{2\sqrt[3]{x^2y^2}}{3x} & \frac{2\sqrt[3]{x^2y^2}}{3y}\end{pmatrix}\quad\text{für }x\cdot y\ne0$$
