Zeigen, dass die Menge der magischen Quadrate einen Unterraum bildet und eine Basis dieser Menge bestimmen

Question

Aufgabe:

Ein magisches Quadrat ist eine reelle 3 × 3-Matrix, für die eine Zahl s ∈ ℝ so existiert,
dass gilt:
Die Summe der Einträge in jeder der drei Zeilen ist s.
Die Summe der Einträge in jeder der drei Spalten ist s.
Die Summe der Einträge in beiden Diagonalen ist s.
Wir bezeichnen die Menge der magischen Quadrate mit Q.
(i) Zeigen Sie, dass Q ein Unterraum von M_3×3(ℝ) ist.
(ii) Bestimmen Sie eine Basis von Q.

Problem/Ansatz:

Ein solches magisches Quadrat wäre
(a b c)
(d e f)
(g h i)
Zu (i) Hier muss man nur die Unterraumaxiome nachweisen:
0 ∈ Q
Hier sind alle Einträge 0, man hat die Nullmatrix also ist 0 ∈ Q

Für alle v,u ∈ Q gilt v+u ∈ Q
Sei v = (a b c) und u = (j k l)
            (d e f)                (m n o)
            (g h i)                (p q r)
, dann hat für die Summe beider Matrizen bei der Summe r der Einträge in jeder der drei Zeilen, Spalten und beiden Diagonalen:
a+j+b+k+c+l = (a+b+c)+(j+k+l) = s + r
.... usw.
Demnach ist v+ u auch solch eine Matrix.

Ähnlich bei für alle u ∈ Q und für alle λ ∈ ℝ gilt λ*u ∈ Q

Zu ii)
Hier muss man wegen der Dimension 3 linear unabhängige magische Matrizen bestimmen?
Vielleicht gingen diese:

X =  ( 1 -1 0 )
       ( -1 0 1 )
       (  0 1 -1)

Y =  ( 0 -1 1)
     ( 1 0 -1 )
    ( -1 1 0)

Z =  ( 1 1 1 )
     ( 1 1 1 )
     ( 1 1 1 )

Stimmt alles soweit? Wäre für Hilfe dankbar.

Answer 1

Hallo,

(i) Zeigen Sie, dass Q ein Unterraum von M_3×3(ℝ) ist.

Ich denke, dass hast Du mit den drei Axiomen für den Untervektorraum korrekt gezeigt.

(ii) Bestimmen Sie eine Basis von Q.

Hier muss man wegen der Dimension 3 ...

Hier ist der Wert 3 für die Anzahl der Dimensionen gerade 'vom Himmel' gefallen. Ich unterstelle mal, dass es zu der Aufgabe gehört, zu zeigen, warum das 3 sein muss.

Wenn Du die 8 Gleichungen für die Werte im magischen Quadrat aufstellst, bringt man die entstandene Matrix des LGS in die Stufenform und zeigt, dass sie den Rang 6 hat. Da das magische 3x3-Quadrat mit 9 Werten gefüllt wird, bleiben 3 Freiheitsgrade bzw. Dimensionen für den Lösungsraum übrig.

So käme man dann auch automatisch zu drei Matrizen, die eine Basis von \(Q\) bilden.

Vielleicht gingen diese: ...

Du hast drei von einander unabhängige Matrizen, die jede für sich ein magisches Quadrat bilden und damit 'gehen diese'.

Gruß Werner

PS.: Warum Deine Frage bisher nicht beantwortet wurde, darüber könnte man noch philosophieren ;-). Es liegt IMHO nicht am Unvermögen der potentiell Antwortenden.