Welches Verfahren wendet ihr an?

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem:

I:      x-2y+3z=6

II:   8x-3y+4z=6

III:  9x+5y-7z=6

Welche geometrische Figur wird durch Gleichung II dargestellt?

Mit Welchem Verfahren haben sie das Gleichungssystem gelöst?

Problem/Ansatz:

Hey Leute, ich habs mit zwei Varianten probiert.

Gaußsches Eliminationsverfahren und dem Additionsverfahren.

Ich kann mir nicht vorstellen, das es nicht Lösbar ist, da es eine Prüfungsangabe von mir war. Aber ich kann es nicht lösen.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Das Gleichungssystem ist lösbar:$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline1 & -2 & 3 & 6 &\\8 & -3 & 4 & 6 &-8\cdot\text{Gleichung 1}\\9 & 5 & -7 & 6 &-9\cdot\text{Gleichung 1}\\\hline1 & -2 & 3 & 6 &\\0 & 13 & -20 & -42 &\\0 & 23 & -34 & -48 &-2\cdot\text{Gleichung 2}\\\hline1 & -2 & 3 & 6 &\\0 & 13 & -20 & -42 &\\0 & -3 & 6 & 36 &\colon(-3)\\\hline1 & -2 & 3 & 6 &+2\cdot\text{Gleichung 3}\\0 & 13 & -20 & -42 &-13\cdot\text{Gleichung 3}\\0 & 1 & -2 & -12 &\\\hline1 & 0 & -1 & -18 &\\0 & 0 & 6 & 114 & \colon6\\0 & 1 & -2 & -12\\\hline1 & 0 & -1 & -18 &+\text{Gleichung 2}\\0 & 0 & 1 & 19 &\\0 & 1 & -2 & -12 & +2\cdot\text{Gleichung 2}\\\hline 1 & 0 & 0 & 1 & \Rightarrow x=1\\0 & 0 & 1 & 19 & \Rightarrow z=19\\0 & 1 & 0 & 26 &\Rightarrow y=26\\\hline\hline\end{array}$$

Gleichung \(2\) lautet:$$8x-3y+4z=6$$Darin kannst du zwei Variablen völlig frei wählen, die letzte ist aber dann durch die Gleichung festgelegt. Zum Beispiel kannst du \(x\) und \(y\) frei wählen, dann ist aber:$$z=\frac14\left(6-8x+3y\right)=\frac32-2x+\frac34y$$Wir schreiben alle Punkte auf, die dadurch gegeben sind:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\\frac32-2x+\frac34y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\frac32\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\\frac34\end{pmatrix}$$Es handelt sich also um eine Ebene im \(\mathbb R^3\).

Comments

Danke dass du dich so rasch darum gekümmert hast! Ich habe immer auf die Stufenform hingearbeitet:

.    .    .

0   .    .

0   0   .

Würdest du ein anderes Verfahren vorziehen?

Lg.

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Du musst bei dem Gauß-Verfahren alle Spalten so hinkriegen, dass sie lauter Nullen und genau eine Eins enthalten. Das machst du am besten Spalte für Spalte und fängst ganz links an. Wo diese \(1\) in der Spalte steht ist egal. Man baut die Einsen gerne so, dass sie auf einer Diagonalen liegen (Stufenform), aber das ist gar nicht nötig. Wichtig ist nur, dass am Ende in jeder Spalte und in jeder Zeile nur genau eine Eins und sonst lauter Nullen stehen.

Answer 2

Ich weiß ja nicht was du gemacht hast. Es hat die eindeutige Lösung (1, 26, 19).

Wenn du deinen Fehler finden willst:

Setze diese Lösung in JEDE deiner umgeformten Gleichungen ein.

Wenn es zum ersten Mal nicht stimmt, dann hast du deine erste fehlerhafte Gleichung gefunden.

Answer 3

Hallo,

I: x-2y+3z=6

II: 8x-3y+4z=6

III: 9x+5y-7z=6

Wenn ich alle drei Gleichungen addiere, fallen y und z weg.

18x=18

x=1

I → -2y+3z=5   IV

II → 3y-4z=2   V

3*IV +2*V → z=19

z in V → 3y-76=2  → y=26

Die Ebenen schneiden sich im Punkt S(1|26|19).

:-)