Ich würde das schon etwas sinnvoller strukturieren, etwa so:
Seien A, B unitäre Matrizen, dann gilt nach Def:
\( (A^{konj.})^{T} \cdot A = E \) und \( (B^{konj.})^{T} \cdot B = E \)
Zu beweisen ist, dass daraus folgt:
\( ((A\cdot B)^{konj.})^{T} \cdot (A\cdot B) = E \)
Das Konjugierte eines Produktes ist gleich dem Produkt der
Konjugierten, also gilt :
\( ((A\cdot B)^{konj.})^{T} \cdot (A\cdot B) \)
\( = (A^{konj} \cdot B^{konj})^{T} \cdot (A\cdot B) \)
Beim Transponieren eines Produktes muss man die
Reihenfolge umkehren, also
\( = ( (B^{konj}) ^{T} \cdot (A^{konj})^{T} ) \cdot (A\cdot B) \)
Assoziativität der Matrizenmult. gibt
\( = (B^{konj}) ^{T} \cdot (( A^{konj})^{T} \cdot A ) \cdot B \)
Vor. anwenden (A unitär)
\( = (B^{konj}) ^{T} \cdot E \cdot B = (B^{konj}) ^{T} \cdot B \)
und auch B unitär liefert
= E. q.e.d.
