Erwartungswert und Varianz von Y

Question

Sei X eine Zufallsvariable für die Erwartungswert und Varianz existiert und sei

Y = \( \frac{X - E(X)}{σ(X)} \) 

Zeig, dass E(Y) = 0 und V(Y) = 1

E(Y) = 0 hab ich eigentlich, aber V(Y) = 1 komm ich irgendwie nicht vorran. Vielen Dank für eure Hilfe im voraus ♥

Comments

V(Y) = E(V²) - E(V)²  = E(V²)

Das einfach einsetzen und wieder ausrechnen.

Answer 1

Aloha :)

Wir wissen: \(E(X)=\mu\) und \(V(X)=\sigma^2\)

Wir suchen den Erwartungswert und die Varianz von \(Y\coloneqq\frac{X-\mu}{\sigma}\)

Der Erwartungswert ist linear:$$E(Y)=E\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)=\frac1\sigma E(X-\mu)=\frac1\sigma\left(\underbrace{E(X)}_{=\mu}-\mu\right)=\frac1\sigma(\mu-\mu)=0$$$$V(Y)=E(Y^2)-\underbrace{E^2(Y)}_{=0^2}=E\left(\frac{(X-\mu)^2}{\sigma^2}\right)=\frac{1}{\sigma^2}E(X^2-2X\mu+\mu^2)$$$$\phantom{V(Y)}=\frac{1}{\sigma^2}\left(E(X^2)-E(2X\mu)+E(\mu^2)\right)=\frac{1}{\sigma^2}\left(E(X^2)-2\mu \underbrace{E(X)}_{=\mu}+\mu^2\right)$$$$\phantom{V(Y)}=\frac{1}{\sigma^2}\left(E(X^2)-2\mu^2+\mu^2\right)=\frac{1}{\sigma^2}\left(E(X^2)-\underbrace{\mu^2}_{=E^2(X)}\right)$$$$\phantom{V(Y)}=\frac{1}{\sigma^2}\left(E(X^2)-E^2(X)\right)=\frac{1}{\sigma^2}\,V(X)=\frac{1}{\sigma^2}\cdot\sigma^2=1$$