E(X^2) absolut konvergent => E(X) absolut konvergent

Question

Aufgabe:

Sei Ω ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum mit Wahrscheinlichkeitsfunktion m : Ω → R_≥0 und X : Ω → R eine Zufallsvariable für die

$$E(X^2)=\sum \limits_{\omega \in \Omega}^{} X(\omega)^2*m(\omega)$$ absolut konvergiert.

Zeigen Sie, dass dann auch $$E(X)=\sum \limits_{\omega \in \Omega}^{} X(\omega)*m(\omega)$$ absolut konvergiert.

Tipp: Spalten Sie die Summe

$$\sum \limits_{\omega \in \Omega}^{} |X(\omega)|*m(\omega)$$ in die Summanden mit $$|X(\omega)| \leq 1$$ und $$|X(\omega)| > 1$$

auf.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht so genau, wie man das hier machen soll. Absolut konvergent heißt, dass $$E(X^2)=\sum \limits_{\omega \in \Omega}^{} |X(\omega)^2*m(\omega)|$$ also konvergiert. m(w) ist nach Definition immer größer gleich 0, also kann man das aus dem Betrag rausziehen. Dann steht da $$E(X^2)=\sum \limits_{\omega \in \Omega}^{} |X(\omega)^2|*m(\omega)$$. Aber wie macht man das jetzt mit dem Aufspalten? Und wie kommt man dann darauf, dass auch E(X) absolut konvergiert? Wäre sehr dankbar für Hilfe :)

Answer 1

Es gilt $$ \mathbb{E}(X(\omega)) \le \mathbb{E}(|X(\omega)|) = \sum_{\omega\in\Omega} |X(\omega)| \cdot m(\omega) = \sum_{\omega\in\Omega \atop |X(\omega)|<1 }|X(\omega)| \cdot m(\omega) + \sum_{\omega\in\Omega \atop |X(\omega)|\ge1 }|X(\omega)| \cdot m(\omega)  \le \\ \sum_{\omega\in\Omega } m(\omega) + \sum_{\omega\in\Omega \atop |X(\omega)| \ge 1 } |X(\omega)|^2 \cdot m(\omega)  < \infty $$  weil ja $$  \sum_{\omega\in\Omega} |X(\omega)|^2 \cdot m(\omega) < \infty $$ gilt.

Comments

Danke, ja das macht Sinn :D