Kann der Punkt P in Ebene E liegen?

Question

Aufgabe:

Gegenseitige Lage eines Punktes mit einer Ebene

Problem/Ansatz:

Es geht konkret um die Aufgabe 2 c) 

Hier ist direkt die Frage gestellt, ob der Punkt in der Ebene E liegen kann ohne den Operator „Prüfen“.

Ich vermute daher, dass man dies direkt an der Vektorform des Punktes erkennen kann.

Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand die genaue Begründung gibt, woran man anhand der Ebenengleichung und der Vektorgleichung erkennen kann, dass der Punkt nicht auf der Ebene liegt (meine starke Vermutung, wenn ich mir das anschaue).

Habe bisher geschrieben, dass die Zeile 1 bei gleichen Parametern niemals das doppelte oder mehr der Zeile 3 sein kann, aber das hört sich noch etwas schwammig an.

Grüße

Answer 1

Selbst wenn dort steht "Begründe" muss es nicht heißen, dass es eine offensichtliche Begründung ohne Rechnung geben muss, obwohl das häufig der Fall ist.

Wenn dort kein Operator dabei steht, bedeutet es auch nicht, dass du nicht rechnen musst.

Also wenn du kein anderer Weg einfällt dann rechne einfach:

Stelle die Vektorgleichung

[2, 1, 1] + r·[1, 1, 0] + s·[-1, 1, 1] = [a, -a, 2·a + 2]

als reguläres LGS auf

2 + r - s = a
1 + r + s = -a
1 + s = 2·a + 2

Löse das Gleichungssystem. Ich komme auf die Lösung a = - 1/6 ∧ r = - 3/2 ∧ s = 2/3. Und damit liegt der Punkt für a = - 1/6 in der Ebene.